Research on arithmetic of number fields and coverings with non-commutative Galois groups

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今年度に主に取り組んだテーマは、生成的多項式の代数的整数論への応用である。素数導手の3次Gauss周期にはGauss以来の従来研究が脈々とあり、Shanksの3次巡回多項式から得られる最簡3次巡回体の場合に互いの関係が詳しく調べられているが、この関係を一般の素数導手の場合に拡張するとともに、その合成により合成数導手の場合にもその関係を詳しく考察した。その際、原始根の選択やShanks多項式のパラメタの値の選択にある自由度については従来あまり明確にされてこなかったが、合成を考える際にはきちんと決める必要があり、その点でやや新規性があると思われる結果を得て研究発表を行なった（論文として発表すべく準備中）。元来は本研究の主眼である非可換なGalois群を持つ生成的多項式に対する同様の現象を狙っていて、3次巡回多項式の場合は習作の位置づけであったが、例えば5次二面体群の場合には同様の状況が作れないことが群論的考察によって明らかになった。種数1のdessin d'enfantについては、その計算の中で、多項式が複数の重根を持つ条件を取り扱う必要があり、これを不変式論に結び付ける結果も得て研究発表を行なった（論文として発表すべく準備中）。また、研究協力者の堀江まどか氏は、種数を限定せずに2頂点のdessinについて考察し、その同型類の数え上げを行なった他、幾つかの特徴的な2頂点dessinについての考察を進めている。研究分担者を中心とする研究では、中筋氏は昨年度までに引続き、多重ゼータ関数・多重ゼータ値および多重Bernoulli数の一般化に取り組み、Schur型多重ゼータ関数やSchur型多重ゼータ値を中心に、多くの結果を得て論文出版や研究発表に至った。特に大学院生を研究補助者とした共同研究として、Schur型多重Polyベルヌーイ数についての考察が進んだ。