非線形分散型方程式の代数的構造と初期値問題の適切性

発展方程式の初期値問題において最も基本的な問題は適切性（解の存在、一意性、初期値に対する連続依存性）である。非線形分散型方程式の研究においては、これまで非線形項の特異性がそれほど強くない場合に対して多くの研究がなされてきた。しかし、非線形項に微分が含まれていて強い特異性を持つ場合は評価が難しく、今後の研究が期待されている。申請者は数年前から5階のKdV型の方程式に対してnormal form reductionを用いた無条件一意性を含む適切性の研究を行ってきた。5階のKdV型の方程式とは、線形部分は空間5階の微分を含む分散型方程式で、非線形項は2次と3次のべきで最大3階までの微分を含む項の線形結合で表される方程式である。そして、normal form reductionとは非線形相互作用を共鳴部分と非共鳴部分に分けて、非共鳴部分に対しては、時間変数に対する部分積分を行い方程式を代入することにより非線形項における微分の損失を解消する方法である。この手法を用いる場合には、共鳴部分で微分の損失を持つ部分をどう扱うかが本質的な問題となるが、あらかじめ方程式をうまく変形しておくことにより、この部分を上手く相殺させることに成功した。これを様々な非線形項を持つ5階のKdV型の方程式に対して行い、滑らかさの低いクラスの初期値に対して適切性を示す研究を行っている。どれだけ低いクラスの初期値に対して適切性を示すことが出来るか、そしてその際の非線形項に対する条件はどのようなものかを特定することを行っている。

発展方程式の初期値問題において最も基本的な問題は適切性（解の存在、一意性、初期値に対する連続依存性）である。非線形分散型方程式の研究においては、これまで非線形項の特異性がそれほど強くない場合に対して多くの研究がなされてきた。しかし、非線形項に微分が含まれていて強い特異性を持つ場合は評価が難しく、今後の研究が期待されている。申請者は数年前から5階のKdV型の方程式に対してnormal form reductionを用いた無条件一意性を含む適切性の研究を行ってきた。5階のKdV型の方程式とは、線形部分は空間5階の微分を含む分散型方程式で、非線形項は2次と3次のべきで最大3階までの微分を含む項の線形結合で表される方程式である。そして、normal form reductionとは非線形相互作用を共鳴部分と非共鳴部分に分けて、非共鳴部分に対しては、時間変数に対する部分積分を行い方程式を代入することにより非線形項における微分の損失を解消する方法である。この手法を用いる場合には、共鳴部分で微分の損失を持つ部分をどう扱うかが本質的な問題となるが、あらかじめ方程式をうまく変形しておくことにより、この部分を上手く相殺させることに成功した。これを様々な非線形項を持つ5階のKdV型の方程式に対して行い、滑らかさの低いクラスの初期値に対して適切性を示す研究を行っている。どれだけ低いクラスの初期値に対して適切性を示すことが出来るか、そしてその際の非線形項に対する条件はどのようなものかを特定することを行っている。