工学的応用を起点とする可積分系および直交多項式の研究

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報告者はこれまで、可積分系や直交多項式のもつ解構造や正値性といった「よい性質」を利用して、様々な形や性質を持つ行列の逆固有値問題の解法を定式化してきた。しかしながら、工学・ 理学に現れる問題に即した解法の開発には至っていない。本研究では、実問題に現れる逆固有値問題に合う可積分系や直交多項式を導出し、問題を解決することを目的としている。最近報告者は、ローラン双直交多項式と直交ローラン多項式がローラン-ヤコビ行列と呼ばれるジグザグ構造をもつ5重対角行列の固有値問題に関連づくことを示している。ローラン双直交多項式の満たす漸化式は離散相対論戸田方程式とも呼ばれており、離散相対論戸田方程式を用いてローラン・ヤコビ行列の逆固有値問 題の解法の定式化に成功している。さらに、作成されるローラン-ヤコビ行列が、すべての小行列式が非負である非負 (totally nonnegative, TN) 行列となる条件についても明らかにした。2022年度は、前年度に調査を進めていた直交多項式の変数と、ローラン双直交多項式の変数の間の変数変換を考えることで、別のジグザク構造をもつ行列の逆固有値問題の解法の定式化に成功した。2つの直交多項式の関係から、今回定式化を行った解法も離散相対論戸田方程式を用いている。また、作成される行列がTN行列となる条件についても明らかにした。本研究が対象としている逆固有値問題が現れる工学的応用の周辺分野について、文献収集と調査を行った。また、投稿中の論文が国際英文誌に採録された。