非線形分散型方程式における解挙動の多面的研究

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2022年度は、川本昌紀氏との共同研究である、時間減衰する調和振動子を持つ非線形シュレディンガー方程式（NLS）の散乱問題について研究を進めた。特に、多項式とは限らない一般の斉次型非線形項を持つ場合の終値問題について、解が散乱解を持つか、修正散乱解を持つかに対応する非線形項の形状に関する十分条件を与えることに成功し、結果をまとめ論文を投稿した。この論文はJournal of Differential Equationsに掲載受理され、近日中に出版される予定である。さらに、時間減衰する調和振動子を持つNLSにおいて、ゲージ不変性を持つべき型の非線形項に限定し解の散乱作用素の構成を試みた。特に、先行研究で技術的に必要となっていた調和振動子の時間減衰する係数の大きさに関する条件を取り外すことを大きな目的とした。散乱作用素を構成するには、与えられた漸近形に実際に時刻無限大で漸近するような解を構成する終値問題、与えられた適切なクラスの初期値に対する解が時間大域的であり、さらに特定の漸近形に時刻無限大で漸近することを示す初期値問題がある。特に終値問題を考察する際、先行研究では時間に関する重み付きストリッカーツ評価を用いる必要があり、その弊害として時間減衰する係数がある意味で非常に小さいものしか扱うことができなかった。これは調和振動子を持たない通常のNLSに近い状況しか取り扱うことができていないことを意味する。しかし、線形レベルでは時間減衰する係数がある程度大きくても基本解は減衰するので、この条件は非線形問題でも取り外すことが期待できた。本研究において、この制限を取り外す方法を発見し、現在論文作成に取り組んでいる。