フラクタル上の解析学の基礎

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本研究では、自己相似集合あるいは自己相似格子上のラプラシアンについて以下ような研究をおこなった。1. 無限自己相似格子上のラプラシアンのスペクトルの研究無限自己相似格子状のラプラシアンのスペクトルがいつpure pointになるのかについて研究をおこなった。特に、Nested fractalsに対応する無限自己相似格子で対称性を持たないものについては、ラプラシアンのsupport compactな固有関数でL^2空間の完全正規直交系が構成できることを示した。したがってこの場合にはラプラシアンのスペクトルはPure pointであることがわかった。2. Diamond fractal上のラプラシアンの構成Diamond fractalは無限分岐的な自己相似集合であり、その上のラプラシアンの構成には有限分岐的な場合のものをそのまま適用することはできない。しかしながら、Diamond fractalをいくつかのパターンに分解すると、そのおのおののパターンの組み合わせは有限分岐的であることがわかる。このことを用いてDiamond fractal上にラプラシアンを構成する方法を明らかにし、そのラプラシアンに関していくつかの数値実験をおこなった。3. 自己相似集合上のラプブラシアンに対応する熱核の漸近挙動有限分岐的な自己相似集合上に定義されたラプラシアンに対応する熱核の対角成分の時間0に向けての漸近評価を、一般の測度の場合についておこなった。その結果、漸近挙動に関するマルチフラクタル構造を発見した。