Construction of analysis via partitions and weights of spaces

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昨年度は、一般のコンパクトな距離空間上に、空間を近似するグラフの列の上の離散的な p-energy の列のスケーリング極限として (1, p)-Sobolev norm とそれに付随する Sobolev 空間に相当するものを構成出来るための必要十分条件として conductive homogeneity という概念を見出した。本年度は、正多角形をベースとした局所対称性をもつ自己相似集合のconductive homogeneity について研究を行った。まず、局所対称性を持つ自己相似集合と自己相似集合の isometry群という概念について定式化を行い、その幾何学的性質を研究した。特に、自己相似集合の分割から定義される距離がユークリッドの距離にたいして adapted であることを証明し、その他の結果とあわせて、一般のコンパクトな距離空間上での conductive homogeneity の理論の前提となる条件が満たされていることを確認した。更に、conductive homogeneity の必要十分条件である Knight move 条件を示す準備として、自己相似集合を近似する自然なグラフの列に対して、そのpath space の詳細な構造を研究し、十分長い path は少なくとも３つの境界と交わることを示した。この結果を用いて、(1) 正3角形をベースとする局所対称的な自己相似集合は、Ahlfors regumar conformal 次元より大きい p についていつでも p-conductive homogeneous であること。(2) 任意の J > 3 について、正J角形をベースとする局所対称的な自己相似集合の isometry 群が角度 2\pi/J の回転を含むならば、Ahlfors regumar conformal 次元より大きい p についていつでも p-conductive homogeneous であること。などを得た。