フラクタル領域上の解析学の基礎

分形区域分析基础知识

• 批准号: 07854009
• 负责人: 木上 淳
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07854009/
• 关键词: フラクタル; 解析学; 自己相似集合; ラプラシアン

本研究の目的は「フラクタル領域上の解析学」の基礎を確立することにあった。例えばフラクタル領域上で波動や拡散などの物理現象を記述するためには、その上でのラプラシアンを定義しなければならない。しかしながらフラクタル領域上では一般に“関数の微分"を考えることができない。近年少しずつ研究が進展してきたがいまだ手探りの状態にあるフラクタル上での解析学にたいして特に次の2つの問題に重点を置いて研究をおこなった。(1)post critically finite self-similar set上でのHarmonic Structureの存在とその一意性の問題この問題がある種の有限次元の非線形力学系の不動点の存在と一意性に帰着されることは従来から知られていた。本研究では、この非線形力学系の相空間に自然な順序が導入でき、この力学系によってその順序が保存されることを明らかにした。さらにこの性質を用いて力学系の構造を調べて、Harmonic Structureの存在とその一意性および安定性についての十分条件を導くことに成功した。(2)post critically finite self-similar set上のラプラシアンの固有値の漸近挙動post critically finite self-similar set上のラプラシアンは多くの場所局所化された固有関数を持つことがしられていた。本研究では固有値のcounting functionをこの局所化された固有関数にたいする固有値のcounting functionと残りの固有値(すなわち局所化されていない固有関数に対応する固有値)のcounting functionの和として表現することを提案した。そしてそれぞれの部分の漸近挙動を調べて、たとえば、局所化された固有関数に対応する固有値のcounting functionの漸近挙動を詳細に記述することに成功した。またとくにSier pinski gasketと呼ばれる具体例にたいしては両方のcounting functionの漸近挙動を完全に決定した。

The purpose of this research is to establish the foundation of "analytics in the field of software". For example, the physical phenomena of the ratio and dispersion in the field are described in detail. In general, the differential of the relevant number is considered to be the most important factor in the field. In recent years, there has been little progress in the study of the state of analysis, especially in the study of the second problem. (1) The existence of a Harmonic Structure on a post critically finite self-similar set is a problem of one meaning. In this paper, the natural order of non-linear mechanical system is introduced into the phase space, and the order of nonlinear mechanical system is preserved. In this paper, the properties of Harmonic structure are discussed. The existence of harmonic Structure is discussed. The stability of harmonic structure is discussed. (2) The inherent value of the gradient on the post critically final self-similar set is gradually changed. In this study, we propose the sum and expression of the inherent counting function and the residual inherent counting function. A detailed description of the inherent counting function of the system. The Sier Pinski Gasket is a complete solution to the counting function.

项目成果

木上 淳: "Hariranic Calculus on limits of Networks and Its application to dendrites" Journal of Functional Analysis. 128. 48-86 (1995)

Jun Kigami：“关于网络极限的哈里兰微积分及其在树突中的应用”，《函数分析杂志》128. 48-86 (1995)。

木上 淳: "Hausdorff dimensions of self-similar sets and shortest pathmetrics" Journal of Mathematical Society of Japan. 47. 381-404 (1995)

Jun Kigami：“自相似集的豪斯多夫维数和最短路径度量”日本数学会杂志 47. 381-404 (1995)。