ビルディング上の幾何の表現論への応用

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今年度の当初の実施計画は,昨年度に引続き非アルキメデス的局所体上の一般線形群および古典群の許容表現の実現に対応する,ビルディング上の層又は係数系を定義し,そのコホモロジー群を用いてこれらの群の既約許容表現の分類を記述することやガロア群の表現との関係を研究することなどであった.今年度は,尾道大学の刈山和俊氏や大阪府立大学の高橋哲也氏と協力して,その理論的準備を中心を行うとともに,簡単な場合の例の計算を行った.まず,局所体上の古典群に対して,既約許容表現のK-typeを研究した.一般線形群に対してBushnell-Kutzkoが与えたK-typeは,特別な形の開部分群とその表現(1次指標)の組であった.古典群に対してはMorris, Pan-Yu, Stevensなどにより,それぞれ少しずつ異なった形の定義が提案されていた.指導している学生である宮内通孝君の努力により,これらが本質的に同値なものであることが分かり,また自己双対的格子列の用語のみから成る簡潔な統一的な記述が得られた.この記述より,ビルディングを少し一般化した単体複体が構成できる.この単体複体上に,各表現に対応する係数糸がうまく定義でき,その性質が解明できれば,表現諭に応用できることが期待できる.また我々の方法の有効性を確かめるために,パソコンを用いて計算実験を行った.簡単のため,局所体ではなく有限体上の簡約代数群の場合に,ある種の単体複体のコチェイン空間にラプラシアンを作用させ,その固有空間での表現を調べた.これによリコホモロジー群よりも精密な議論が可能になることが確認できた.古典的に知られている結果の翻訳に過ぎないが,局所体上の場合の問題点を解決するためのヒントになると期待している.