有隈体上の対称空間と新谷descent

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有限簡約群G(F_q)の表現論と有限体上の対称空間の理論を結び付ける研究を行った。有限簡約群の既約指標を決定する問題は、G(F_q)の概指標と、指標層から得られる特性関数がスカラー倍を除いて一致するというLusztig予想により、原理的に解決される。簡約代数群Gが連結な場合、Lusztig予想は筆者により解決された。そこで次の問題はLusztig予想に現れるスカラーの決定である。標数が十分大きいとき、古典群、Sp_{2n}(F_q),SO_N(F_q)については筆者の仕事を拡張する形でWaldspurgerによりこのスカラーは決定されている。しかしこの方法はある種の等式の値をmodulo4で評価するものであり、qが2と素であることが本質的である。したがって、この方法は標数2の古典群には適用できず、それを扱うためには、根本的に新しい方法を見つける必要があった。今年度の研究で、有限体上の対称空間の理論と結び付けることにより、標数が2の場合の、Sp_{2n}(F_q)に対してスカラーを決定することができた。G=SP_{2n}とする。 G(F_q)の単位表現をG(F_{q^2})に誘導して得られるG(F_{q^2})の表現をVとする。G(F_{q^2})の既約表現とVとの重複度は、川中、Lusztigにより計算されている。これよりG(F_{q^2})の概指標とVの重複度も分かる。一方、ある種の指標層の特性関数とVとの重複度も計算できる。これより、G(F_{q^2})に関してはLusztig予想に現れるスカラーを決定できる。この部分は標数に無関係に成立する。さらに標数が2の場合は、て、ある種の特殊化の議論をすることにより、G(F_{q^2})の場合のスカラーとG(F_q)の場合のスカラーが一致することが示される。これより、G(F_q)のスカラーが決定される。証明の過程で、Murghnahan-Nakayamの公式を利用した、かなり面倒なHecke環の指標の計算をする。この証明の議論は、かなりの部分はSO_{2n}(F_q)にも適用できるが、この場合、全ての場合を尽くすことができない。これを扱うには、non-split型のSO_{2n}に関する対称空間を考える必要があり、それは非常に興味ある問題である。