有限代数群の表現論

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研究実施計画において、当初次の事を目標にした。有限reductive群の既約指標の決定に向けて、(1)指標層の類関数に付随するスカラーの決定、(2)中心が連結でないreductive群、特にSLnに対するLusztig予想の証明、今年度の研究では(2)については、まだ進展が得られなかったが、(1)についてはかなりの成果が得られた。即ち、群Gが中心が連結な古典群,標数pがgoodの場合、Gのunipotentな既約指標に付随するスカラーを全て、決定する事が出来た。これより有限群G^Fのunipotentな既約指標は全て計算できる事になる。又、Gが例外群の場合のunipotent指標についても、上智大学の篠田氏と共に研究し、かなりの結果が得られた。これについては、まだ完成していないが、例えば、GがF_4型のChevalley群の場合、unipotent指標に付随するスカラーが決定出来る。同様の方法で、E_6、E_7型も扱える事が分った。例外群の場合には、古典群に対する方法だけでは不十分で、更に、川中により創始されたgeneralized Gelfand-Graev表現の理論が必要になる。これについては、Luiztigによるunipotent supportの一般論があり、これを利用すれば、E_8型も扱えるのではないかと思われる。例外群については、上記の成果より、来年度は、いよいよ指標表を完成させる計算に取りかかる計画を建てている。この方面では、ドイツの若手数学者を中心にChevalley群に対する数式処理ソフト、CHEVIEが開発されており、彼達とも協力して、具体的な計算をする予定である。