有限体上の対称空間と新谷descent

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有限体上の対称空間GL(2n)/Sp(2n)に付随したHecke環に関して、Bannai-Kawanaka-Song(BKS)の研究により、その指標表がDeligne-Lusztig理論と密接な関係があることが知られている。Hendersonによりその幾何学化が、Ginzburgの対称空間の指標層の理論と関連させて、調べられているが、まだ完全ではない。一方、GL(V)の指標層の理論がenhanced nilconeに関連してGL(V)XVの指標層の理論にまで拡張できることが、Ginzburgにより知られている。今年度は、2月にフランスを訪問し、Luminyの研究所で、1週間、K.Sorlinとの共同研究を行った。主要なテーマは、上記の対称空間に関する理論を、enhnaced nilconeに関する状況に拡張することである。研究代表者は、既にGL(V)の場合に、enhanced nilconeの一般化GL(V)XV^rに対しても、指標層の理論が拡張され、そこに複素鏡映群G(r,1,n)に付随するKostka関数が自然に現れることを確かめている。Sorlinとの共同研究ではr=2の場合を調べたが、これらの結果が自然に対称空間に拡張され、BKSの結果の幾何学化に対応する事柄が成立することが分かってきた。また、r=1の場合においても、我々の手法により、BKS理論の完全な幾何学化が実現できる見通しも得られた。ところで、BKS理論にはMacdonald多項式が登場するがr=2の場合には、double partitionに付随したMacdonald関数(これは研究代表者の導入したKostka関数と同様のアルゴリズムで得られる新種の関数)が重要な役割を演ずると思われる。