2変数チェビシェフ多項式に付随する力学系

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2変数チェビシェフ多項式から導かれた複素平面上の力学系F_c(z)=z^2-c〓を調べた。有名な複素平面上の力学系〓_c(z)=z^2-cは広く研究され、マンデルブロート集合、ジュリア集合については多くの結果が知られている。この〓_c(z)において、c=2の場合は、1変数チェビシェフ多項式になる。1変数チェビシェフ多項式を2変数チェビシェフ多項式に拡張して導かれたものが、上記のF_c(z)である。〓_c(z)は一種の倍角写像であることは良く知られている。このことはF_c(z)についても同様に成り立つことがわかった。つぎに、F_c(z)について明らかになった性質を述べる。これらのことから私の定義した力学系F_c(z)は〓_c(z)の自然な拡張であることがわかった。1.c=2の場合、k周期点の数が4^kであり、F_c(z)はSteinerのHypocycloid S上でchaoticである。もし、z〓Sならば、F^n_c(z)→∞(n→∞)となる。2.A_c(∞)={z∈C|F^n_c(z)→∞(n→∞)}とおく。cが実数の場合、次の二つの条件が同等であることがわかった。(1)-4〓c〓2(2)A_c(∞)が、拡張された複素平面で考えて、単連結である。3.c>2の時、C-A(∞)はカントール集合となる。そして、F_cはその集合上で4文字上のシフト写像とconjugateである。これらの結果と同様なことが、力学系〓_c(z)についても成り立つことが良く知られている。我々の結果は〓_c(z)の結果の一つのアナロジーである。