2,3,4次元空間の幾何学における数理物理学的諸方法の統合

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境界付き3次元多様体に対するフレーアーホモロジーの定式化を行なったのが本年度の最大の成果である。これによって,ゲージー理論にもとずく3次元多様体の不変量であるフレーアーホモロジーを2・3次元の位相的場の理論とみなすことができる。さらに,2・3次元の位相的場の理論として従来から知られていた共型場の理論+ジョーンズ・ウィッテン不変量と(形式的には)まったく類似な理論構成を行なうことができる。このことはゲージー理論と共型場理論の結び付きを探すのに有効であり,本研究の目的であった,低次元多様体における場の理論の諸方法の統一に寄与するものである。この研究はいかに述べる諸分野と関わる:(1)ホモロジー代数学(加法圏,アーベル圏の理論)。(2)代数的位相幾何学(無限ループ空間,A^∞空間)。(3)シンプレクティック幾何学(ラグランジアンの交叉の理論,概複素曲線の理論)。(4)基本群の表現空間の幾何学(5)ゲージー理論。(6)非線形方程式の(大域的境界条件に関する)初期・自由境界値問題。あるいは,アティヤー・パットーディ・ジンガーの理論の非線形化。(7)タイヒミューラー空間の幾何学。(8)δ・モデル,交叉対称性などの場の理論の諸方法。この研究についてはその要約〔1〕を執筆した。詳細を含む論文は準備中である。次に分担者による関連した研究について述べる。松本はリーマン面の退化の研究(タイヒミューラー空間のコンパクト日と関わる)とその曲面をファイバーとするファイバー空間であるような4次元多様体の研究への応用を川又はアバンダンス予想の解決など3次元代数多様体の研究を行なった。また河東はサブファクターの分類と位相的場の理論の関係を明らかにし,小木曽は共型場の理論と深く関わるミラーシンメトリィの舞台であるキャラビーヤウ多様体上の有理曲線を,牛腸はウィッテン不変量の幾何学的意味を研究した。