フーリエ向井変換とミラー対称性

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1.ホモロジー的ミラー対称性と実フーリエ向井変換.ラグランジュトーラスをファイバーにもつ,シンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体で,ファイバーに横断的なものを考える.このようなラグランジュ部分多様体はファイバー束の多価の切断とみなすことができる.ミラーに当たる複素多様体は,ファイバーのトーラスの双対トーラスを集めたものである.多価切断の点は,双対トーラス上に平坦接続を与えるので,これを集めて,ミラートーラス上に,複素ベクトル束ができる.この構成が,実フーリエ向井変換で,これを用いてミラー束ができる.この構成はさらに,ファイバーとの交わりに関する条件が弱い場合,すなわち交点が離散的な点ではないが,部分多様体になっている場合に一般化できる.2.波面集合とホモロジー的ミラー対称性.上の研究のファーバーとの交点が部分多様体になっているという条件をはずす研究を開始した.波面集合(Caustics)の近くでの,フーリエ・向井変換の実のアナロジーで得られるベクトル束に対する,量子効果(フレアーの境界作用素に当たるもの)の研究が中心である.これは,波面集合の分類というシンプレクティック幾何学の古典的な題材とかかわる.波面集合の分類で一番最初に現われるのは,折れ目でこの場合の構成はほぼできた.次が,カスプでこの場合の研究を現在進めている.