シンプレクティック幾何学、特に擬正則曲線、量子化の数理

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リー群に関する基本定理の一つはリー群とリー環の対応である。リー群の一般化としてリーグルーポイド、リー環の一般化としてリーアルジェブロイドという概念があり、その場合のリーの基本定理のアナロジーは種々の数学者によって論じられている。リーグルーポイドやリーアルジェブロイドはシンプレクティック幾何学でもしばしば論じられていて、ワインシュタインなどのシンプレクティック幾何学の代表的な研究者もそれを研究している。ルカステファニーにはこの方面の研究者であった。特にボアソン構造をもつリーグルーポイドの積分の問題を研究していた。ボアッソンリーグルーポイドはシンプレクティック商やその一般化にかかわって、シンプレクティック幾何学やボアッソン幾何学に現れる。一方で近年大域シンプレクティック幾何学が勃興しとくに擬正則曲線を用いた方法で、様々な成果が出ている。深谷はその研究者である。来日後、ルカステファニーは大域シンプレクティック幾何学とリーグルーポイドの研究の融合を目指した。セミナー活動などを通じて現れてきた問題は、coisotropic submanifoldのdisplacementである。シンプレクティック幾何学に置けるdisplacementとは二つのシンプレクティック多様体の部分集合が位相幾何学的な要請以上の交わりを持たなければならない、という結論などをいう。大域シンプレクティック幾何学でよく現れる問題である。その重要な例にラグランジュ部分多様体がある。coisotropic submanifoldはラグランジュ部分多様体より「大きい」部分多様体であるので、同様なdisplacementが期待される。また、coisotropic submanifoldにはsymplecticfoliationがあり、ボアッソンとにた側面があり、ルカステファニーが研究していたそのコホモロジーなどが使える可能性がある。以上の理由で、coisotropic submanifoldのdisplacementについて研究を進めたが、残念ながら、目立った成果は上がらなかった。