モジュラー多様体と不連続群の整数論

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2つの課題:(A)保型形式のL関数と;(B)代数曲線の基本群上のガロア表現に関して、次のような進展があった。(A)半単純群Sp(2;R)の他に、SU(2,2)の“大きな"離散系列表現のウィタッカー関数の明示的な積分公式を得た。これは幾向学的な保型形式のL関数の研究のための基礎となる。これと同時に、三重大学教育学部の古関春隆氏とSU(2,1)の離散系列表現のウィタッカー関数と局所的なL因子の研究がほぼ完成に近づけることができた。(B)代数曲線の基本群上のガロア表現を問題にすると、自然に代数曲線の種々のモジュライ空間上の普遍族のモノドロミー表現の研究に導かれる。本年度はこの問題について2つの方向で重要な進展があった。(i)写像類群もしくはタイヒミュラー群が、曲面群に作用する仕方について調ベる道具として、既に朝田衛(東京電鉄大)と松本真氏との共同研究で群のグラフを用いて、局所的な場合に結果を得ていた。松本真氏はこれを進展させ新たなデーンひねりの構成を見出した。これの応用として写像類群の曲面群への作用が、代数的かつ明示的に得られ、写像類群の相対ウエイトフィルトレイションにも応用を見出すことができた。この成果はさらに、ベき零なレベル構造付きの代数曲線のモジュライ空間の既的成分の個数や、定義体の研究に応用を期待できる。(ii)寺杣友秀氏(東京都立大理)との組の組群のビュロー表現の還元の全射性の研究の基本的予想が解決した。応用を現在進展させている。上記の(i)、(ii)はいずれもモノドロミー表現の像の決定という共通の視点からとらえられるが、証明の方法は全く異なる。玉川安騎男氏は、退化する代数曲線の基本群への情性群の作用の記述に新たな直接的な証明を与え、さらに結果を一般化した。