保型形式の数論的および解析的研究と数値解析

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1.小嶋 志村氏は半整数の重さのモジュラー型式fから重さが偶数のモジュラー形式への志村対応Ψを構成し、両モジュラー形式のフーリエ係数の深い数論的関係を明らかにし,半整数の重さのモジュラー形式fのフーリエ係数はfの像Ψ(f)に付随するゼータ関数の特殊値を用いて表示できる可能性を予想し、この問題を解明することをこのテーマの最も興味深い問題の一つとなった。一方新谷氏は志村対応Ψの逆対応Ψ^<-1>を構成する目的で半整数の重さのモジュラー形式fのフーリエ係数をΨ(f)のあるサイクル上の複素積方で表示し,志村の問題の解明に重要な貢献をした。またWelds purger,-Kohneu-Zagierは半整数の重さのモジュラー形式fのフーリエ係数の絶対値の比をΨ(f)に付随するゼータ関数の特殊値で表示した。しかしこれで与えられるのは絶対値の比のみの情報しか与えずフーリエ係数自体がゼータ関数の特殊値で表示できるかという問題は以前として残された。我々は新谷の積方表示式に注目し,新谷積方の簡約化を試み、この積方とゼータ関数の特殊値の間の関係をガウス和の計算,デイリクレ指標の直交性を用いて解明し、半整数の重さのモジュラー形式fのフーリエ係数をΨ(f)に付随するデイリクレ指標付きのゼータ関数の一次結合の形で具体的に表示し,いくつかの場合に志村の予想の肯定的解決が得られた。我々の結果は逆にΨ(f)に付随するゼータ関数の特殊値がfのフーリエ係数を用いて表示できる可能性を秘めているように思われる。これは今後の研究課題である。水野.有限体上で定義されたフエルマ-曲面について,その有理点の配置を調べこの曲面を底として,代数幾何符号を構成し,この符号パラメータに対する評価式を得た。対林有向グラフのある複覆について研究し,その特性多項式を与えた。安藤.diameterグラフのサイズの最小数を決定した。また(k,k)連結グラフの位数の評価をえた。