非線形作用素論と相転移現象の数学的研究

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相転移を伴う非線形現象の理論的かつ応用的研究が、本研究のテーマであるが、当初の予想をはるかに越え、かなり進展を見た。まず理論面での成果は次の通りである。(1)相転移が起こる界面の力学系をもっと詳しく調べるために、二つのパラメータ(界面の運動に対する時間的暖衝項と空間的暖衝項の係数)を含む近似数理モルがかねてより提案され解析されてきた。本研究では、さらに二つのパラメータに関する漸近収束を理論的に証明する事に成功した。(2)現実の問題では時間の経過と共に現象がどのような状態に近づこうとしているかを解明する事が重要である。本研究では、これに関する多くの結果が得られた。特に、二つの暖衝項の有無が界面の漸近挙動に本質的に関係することが明確にされた。次に応用面での成果は次の通りである。(3)上述の相転移モデルで、界面の制御を目的とした最適形状設計問題を提案した。更に、数値解析のために、処罰法による近似問題とその収束が証明された。数値実験も間もなく行われる段階である。(4)上述の(2)で明らかにされた理論の数々の数値実験が行われた。特に二つの暖衝項を有する相転移モデルでは、従来のモデルでは起こり得なかった界面の挙動が指摘された。本研究の成果は、すべて二つの国際会議を含む国内外の五つの研究集会で発表された。その幾つかは既に専門雑誌より出版された。