複素解析的葉層構造の特異点の研究

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複素解析的特異葉層構造、特にその特異点に付随した不変量の研究を行った。Xを複素多様体とし、ΟxおよびΘxをそれぞれXの構造層、正則接層とする。X上のp次元特異葉層構造は、Θxの階数pの連接部分層Eで積分可能条件を満たすものとして定義される、その特異点集合S(E)はXの点で商層(葉層構造の法層)Ne=Θx/EがΟx自由でないもの全体の集合である。微分幾何学的手法を用いて、P.BaumとR.Bottは特異葉層構造の留数をS(E)のホモロジー群の中に定義した。これらは基本的には法層Neの局所的特性類であり、ベクトル場の指数のような位相的不変量を含んでいる。その重要性にもかかわらず、これら留数についてはあまりよくわかっていない。XがコンパクトのときはBaumとBottは留数公式を証明した。これは、留数の和がNeの大域的特性類に一致することを示すものである。J.Seadeとの共同研究で我々は、Xがコンパクトでないときに留数公式を証明した。これはある種の留数の幾何学的意味を明らかにするものである。もう一つの型の不変量として、不変部分多様体に関する留数がある。このような不変量は最初C.CamachoとP.Sadにより、ベクトル場の非特異不変曲線に関する指数として定義された。彼等はさらに複素曲面上のコンパクト非特異曲線を不変にする1次元特異葉層構造に対し指数定理を証明した。その後D.Lehmannはこれらを高次元の場合に拡張した。彼は特異葉層構造の非特異不変部分多様体に関する留数を定義し、留数公式を証明した。これをさらに、不変部分多様体が特異点を持つ場合に拡張することは重要な問題である。本研究において、特異葉層構造の(特異点をもつ)不変超曲面に関する留数を定義し留数公式を証明した。これは、A.Lins Netoの複素射影空間内の曲線を不変にする1次元特異葉層構造に対する指数定理等いくつかの知られた結果の拡張である。