ヤン・ミル場の構成とそのモジュライの研究

4次元リーマン多様体のanti-self-dual接続にあたるヤン・ミル接続が四元数ケーラー多様体上のベクトル束にも考えられ我々はそれをインスタントンと呼んでいるが、それらのモジュライ空間につきこの一年で次の三つの結果を得た。まず4n次元の四元数ケーラー多様体上には4次元リーマン多様体のディラック作用素、ツィスター作用素の一般化された2つの作用素があるが、それらの間に成り立つ三つの関係式を得た。一つはその2つの作用素の間の交換関係にあたるもので残りの2つはそれらの作用素と四元数ケーラー多様体特有の2-formとの交換関係である。それら三個の交換関係を用いると2つの作用素のコホモロジーについて消滅定理を示せた。またこれらのコホモロジーはツィスター空間のドルボーコホモロジーに1対1に対応していることが知られているのでそれらについての消滅定理も得られた。次に複素グラスマン多様体G_2(C^<n+2>)は四元数ケーラー多様体の例だが、その上のインスタントンについてはモジュライ空間を得ていた。そこで更にくわしくその境界を調べた。境界はCP^l(l=(n+1)(n+2)/_2-1)だが、ちょうどその実形IRP^lで低い次元の複素グラスマン多様体への曲率の集中がおきそこで接続のbubbling-offが生じる。それらの状況はHP^nにつき以前調べたのと良く似て四元数ケーラー部分多様体で曲率の集中がみられた。最後にHP^n上の1-インスタントのモジュライ空間は球になる事が知られているが、その中心でのリーマン計量を調べると計量もこめて接空間はIR^p【symmetry】H^qと直和分解されることを示した。以上の研究は3つの論文(投稿中)にまとめられ2つの国際学会で発表された。

4次元リーマン多様体のanti-self-dual接続にあたるヤン・ミル接続が四元数ケーラー多様体上のベクトル束にも考えられ我々はそれをインスタントンと呼んでいるが、それらのモジュライ空間につきこの一年で次の三つの結果を得た。まず4n次元の四元数ケーラー多様体上には4次元リーマン多様体のディラック作用素、ツィスター作用素の一般化された2つの作用素があるが、それらの間に成り立つ三つの関係式を得た。一つはその2つの作用素の間の交換関係にあたるもので残りの2つはそれらの作用素と四元数ケーラー多様体特有の2-formとの交換関係である。それら三個の交換関係を用いると2つの作用素のコホモロジーについて消滅定理を示せた。またこれらのコホモロジーはツィスター空間のドルボーコホモロジーに1対1に対応していることが知られているのでそれらについての消滅定理も得られた。次に複素グラスマン多様体G_2(C^<n+2>)は四元数ケーラー多様体の例だが、その上のインスタントンについてはモジュライ空間を得ていた。そこで更にくわしくその境界を調べた。境界はCP^l(l=(n+1)(n+2)/_2-1)だが、ちょうどその実形IRP^lで低い次元の複素グラスマン多様体への曲率の集中がおきそこで接続のbubbling-offが生じる。それらの状況はHP^nにつき以前調べたのと良く似て四元数ケーラー部分多様体で曲率の集中がみられた。最後にHP^n上の1-インスタントのモジュライ空間は球になる事が知られているが、その中心でのリーマン計量を調べると計量もこめて接空間はIR^p【symmetry】H^qと直和分解されることを示した。以上の研究は3つの論文(投稿中)にまとめられ2つの国際学会で発表された。