3次元多様体のトボロジーの研究

Chern‐Simons gauge理論に付随した3次元多様体の位相不変量について研究した。筆者が以前に行ったgauge群が可換群の場合の不変量の構成を非可換群の場合に拡張しようとすると、いわゆる摂動論的不変量が重要な役割を果たすと思われる。現在、摂動論的不変量はGreen formという解析的手法により定義されているため計算が極めて困難である。そこで、この不変量をde Rham complexという解析的対象からでなくsimplicial complexというtopologicalな対象から再構成できないか考察した。その結果、位相不変性を示すにはまだ組み合わせ論的な困難があるが、ほぼ深谷氏がMorse理論の立場から提唱している不変量に落ち着きそうなことが分かった。また、物理学者により量子化されたKodaira‐Spencer理論というものが提唱されているが、これはChern‐Simons gauge理論と親戚関係にあると思われ、両者を統一的に見れる視点を与えることは重要と思われる。このことに数学的表現を与える第一歩として、両者ともdifferential graded Lie algebraの自然な量子化としてとらえられることをodd symplectic geometryという立場から説明することができた。このことを踏まえて、摂動論という方法によりKodaira‐Spencer理論に対しても不変量を数学的に厳密に定式化することができるのか現在考察中である。

Chern‐Simons gauge理論に付随した3次元多様体の位相不変量について研究した。筆者が以前に行ったgauge群が可換群の場合の不変量の構成を非可換群の場合に拡張しようとすると、いわゆる摂動論的不変量が重要な役割を果たすと思われる。現在、摂動論的不変量はGreen formという解析的手法により定義されているため計算が極めて困難である。そこで、この不変量をde Rham complexという解析的対象からでなくsimplicial complexというtopologicalな対象から再構成できないか考察した。その結果、位相不変性を示すにはまだ組み合わせ論的な困難があるが、ほぼ深谷氏がMorse理論の立場から提唱している不変量に落ち着きそうなことが分かった。また、物理学者により量子化されたKodaira‐Spencer理論というものが提唱されているが、これはChern‐Simons gauge理論と親戚関係にあると思われ、両者を統一的に見れる視点を与えることは重要と思われる。このことに数学的表現を与える第一歩として、両者ともdifferential graded Lie algebraの自然な量子化としてとらえられることをodd symplectic geometryという立場から説明することができた。このことを踏まえて、摂動論という方法によりKodaira‐Spencer理論に対しても不変量を数学的に厳密に定式化することができるのか現在考察中である。