超幾何函数の幾何学的研究

超几何函数的几何研究

• 批准号: 07210267
• 负责人: 吉田 正章
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07210267/
• 关键词: 超幾何; 交点理論; twisted(co)homology; 配置空間; modular interpretation.

Gaussによる超幾何微分方程式と保型関数論と曲面論の見事な融合にもかかわらず、複素領域での線形微分方程式の研究は、従来解析的及び局所的なものが殆どであった。本研究はGaussの超幾何微分方程式を複素射影直線上の3点に特異点を持つorbifoldの一意化方程式ととらえることにより理論の一般化及び特殊化を目指すものである。平成7年度に、以下の研究業績を上げた。(1)射影部分多様体の同値問題。対称領域Dが同変に最小次元の射影空間P^Nに埋め込まれているとする。このとき課題は“部分多様体V⊂P^Nが局所的にDと射影的に同値になるための微分幾何的な条件を求めよ"である。この問題は一意化方程式の研究に不可欠である。DがIV型領域(即ち二次超曲面)の場合は佐々木武の協力により解決された。(2)配置空間(configuration spaces)の幾何。X(k, n)を(k-1)-次元射影空間内の一般の位置にあるn点の配置空間とする。この空間は今世紀始めの代数幾何(特に不変式論)の中心問題の一つであったが(特にCobleによる研究)、これが一般化された(k,n)型超幾何微分方程式の自然な定義域であることが認識されてから再び研究され始めた。(2,n)及び(3,6)の場合に配置空間の組み合わせ位相幾何的性質を明らかにした。(3)Modular interpretation of configuration spaces。配置空間を商D/Γに書こうというのが表題に上げた問題である。X(2,n)の場合には多くの研究があるが、それ以外には唯一つX(3,6)の場合に成功した(4)Twisted(co)homolgiesの交点理論。Twisted homolgiesの交点理論を完成し、現在twisted cohomolgiesの交点理論を建設中である。また被覆空間の(co)homolgiesと底空間のtwisted (co)homolgiesの関係が明らかになりつつある。(5)Selberg型積分の研究。(4)で述べた交点理論の完成で研究の方法が確立された.(6)超幾何写像の像。(k,n)型超幾何微分方程式の解による像は(2,n)及び(3,6)の場合以外はPlucker埋め込みされたGrassmannianにはならぬことを示した。これは内外の研究者を驚きをもって失望させた。

尽管高斯（Gauss）出色地融合了超几何微分方程，振荡功能理论和表面理论，但传统上对复杂域中线性微分方程的研究一直是分析性的和局部的。这项研究旨在通过将高斯的高几何微分方程视为Orbifold的独特方程来概括和专业化该理论，该方程在复杂的投影线上具有三个点的奇异性。在1995年，实现了以下研究成就：（1）投影子手机的等价问题。让我们假设对称区域D同样嵌入到最低维投影空间p^n中。目前，任务是“罚款Submanifoldv⊂p^n的差分几何条件，以固定地等同于D在本地。”此问题对于研究唯一方程的研究至关重要。当d是IV型区域（即，二次超表面）时，它通过Sasaki takeshi的合作解决了。 （2）配置空间的几何形状。令x（k，n）为n个点的布置空间，位于（K-1）维投影空间内的一般位置。这个空间是本世纪初（尤其是柯布尔）的代数几何形状（尤其是不变理论）的核心问题之一，但是在将其视为广义（K，N）超代微分方程的自然领域后，它再次开始研究。在（2，n）和（3,6）的情况下，阐明了布置空间的组合拓扑几何特性。 （3）配置空间的模块化解释。我在标题中提出的问题是在商D/γ中写下布局空间。在x（2，n）的情况下，有许多研究，但是没有其他情况的x（3,6）和扭曲（CO）同类的交叉理论。扭曲同种的相交理论已经完成，目前正在建设扭曲的同型群体相交理论。盖子空间中的（CO）同类之间的关系与底部空间中的扭曲（CO）同种之间的关系变得越来越清晰。 （5）Selberg型积分研究。通过完成（4）中提到的交叉理论的完成，建立了研究方法。（6）超几何图的图像。结果表明，基于（k，n）类型超几何微分方程的解的图像不是嵌入的格拉曼尼亚人（2，n）和（3,6）。这使国内和国际研究人员感到惊讶和失望。