AdS/CFT対応による時空の量子論的性質

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超弦理論の非摂動的定式化として、AdS/CFT対応と呼ばれるAdS時空上の超弦理論と4次元共形場の理論との対応関係がある。この対応を確認するためには両者の物理量を計算することが重要であり、4次元共形場の理論（以下CFTと記す）では相関関数が重要な物理量になる。CFTの特に重要な物理量は、2点関数から決まる局所演算子の次元である。これはDilatation operatorの固有値として与えられる。次元を求める問題は、可積分構造が存在するという理由でプラナー極限で議論されることが多い。しかしながらAdS/CFT対応の検証、AdS/CFT対応から弦理論への予言を得る、という立場からはプラナー極限に限る理由はなく、本研究では、相関関数への非プラナー(non-planar)補正をいかにして計算するか、ということを主題としている。局所演算子の次元はDilatation operatorの固有値として決まり、固有状態はゲージ不変演算子の非自明な線形結合で与えられ、それを決める問題はoperator mixing問題と呼ばれている。プラナー極限ではtraceの数が同じもの同士がmixingを起こしdilatation operatorの固有状態を生成するのに対し、非プラナー補正を考慮するとあらゆるtrace数を持つ演算子が非自明なmixingを起こす。近年は、対称群の表現論を考えることで非プラナー補正を考慮した場合のoperator mixingがうまく扱えることが報告されている。例えば2点関数を対角化する問題は、非プラナー補正を入れると古典レベルですでに非自明な問題であるが、表現論により指定される線形結合を考えることで2点関数が対角化できる。本研究の具体的成果として、CFTに含まれるスカラー場から構成される演算子のうち、SO(6)singletで変換するもののみ考え、その場合に古典的2点関数を対角化する演算子を構成した。その際に対称群のGelfand pairという性質が重要な役割を果たすことが分かった。また量子効果を入れた場合の相関関数も議論した。