ホップ代数とその応用

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1.ホップ代数的観点によって、非可換環のガロア理論を研究し、特に接合積についてくわしく調べた。今年度の成果としては、ホップ代数Aの多元環Cへの作用とある種の2次コサイクルσの対から作られる接合積C#_σAが正規底をもつCのガロア拡大に一致すること、および2つの接合積がいつ同型になるかまた同型類の集合をどういうコホモロジ-の中でとらえるとよいかを示した。またある興味深いホップ代数の具体例であるH(u,p^e)に対し,すべての接合積の構造を解析した。2.線形代数群Spec(A)のアフィン多様体Spec(B)への作用に関する研究を、ホップ代数を応用して調べた。とくに、A、Bが非可換環の場合でも、ある条件をみたす積分が存在すれば、B上射影的な(A、B)ホップ加群はかならずW【cross product】Bの型(ただし,WはあるA余加群)の直和因子になることを示した。これはBass-Habushの結果の一般化である。これはまた相対ホップ加群に対するマシュケ型定理と考えることもできる。関連して、ホップ代数における別のタイプのマシュケ定理の考察も行い、いくつかの結果を得た。3.ホップ代数のいろいろな応用の可能性について、研究分担者と活発に交流を行い、作用素環との境界領域、量子力学(とくに量子群)、組合せ論の分野等に今後の研究の展開が期待できることを確認した。研究代表者にあっては、従来の成果を基礎として、今後は“ガロア理論の量子化"を目指したいと考えている。