タイヒミュラー空間論とその応用

代表者は、一変数関数体におけるモーデル予想(グラウエルト・マニンの定理)とシャハレヴイッチ予想(パルシン・アラケロフの定理)をタイヒミュラー空間の理論を用いて、解析的に証明した。(裏面の第1番目の論文参照、共同研究者:志賀啓成)これらの予想は代数幾何的に証明されていたが、タイヒミュラー空間論によって、ファイバーが(g,n)型のリーマン面の場合にも一般化することができた。すなわち与えられた有限型のリーマン面上のファイバーが(g,n)型の局所非自明なリーマン面の正則族は、同型を除いて高々有限個しかない。このことより、上記のような正則族の正則な切断は高々有限個しか存在しないというモーデル予想も容易に証明することができる。また同じアイデアによって、モーデル予想を直接証明することもできる。さらに、これらの方法をもとにすれば、次の場合も取り扱えることがわかった。有界領域Dの解析的自己同型群の離散的部分群Γで、Γは固定点をもたず、商空間N=D/Γはコンパクト複素多様体になるものとする。射影的代数多様体Mに対して、MからNへの正則写像全体のなすドアデイ空間をHol(M,N)とすれば、Hol(M,N)の構造を非常に詳しく考察することができる。

代表者は、一変数関数体におけるモーデル予想(グラウエルト・マニンの定理)とシャハレヴイッチ予想(パルシン・アラケロフの定理)をタイヒミュラー空間の理論を用いて、解析的に証明した。(裏面の第1番目の論文参照、共同研究者:志賀啓成)これらの予想は代数幾何的に証明されていたが、タイヒミュラー空間論によって、ファイバーが(g,n)型のリーマン面の場合にも一般化することができた。すなわち与えられた有限型のリーマン面上のファイバーが(g,n)型の局所非自明なリーマン面の正則族は、同型を除いて高々有限個しかない。このことより、上記のような正則族の正則な切断は高々有限個しか存在しないというモーデル予想も容易に証明することができる。また同じアイデアによって、モーデル予想を直接証明することもできる。さらに、これらの方法をもとにすれば、次の場合も取り扱えることがわかった。有界領域Dの解析的自己同型群の離散的部分群Γで、Γは固定点をもたず、商空間N=D/Γはコンパクト複素多様体になるものとする。射影的代数多様体Mに対して、MからNへの正則写像全体のなすドアデイ空間をHol(M,N)とすれば、Hol(M,N)の構造を非常に詳しく考察することができる。