ユニタリ表現の分岐則における重複度1定理と余随伴軌道の幾何

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表現の分岐則(部分群に制限したときの既約分解)が最も理想的に振舞うのは各既約表現の重複度が1になる場合である。研究代表者の小林俊行は、表現が無限次元および有限次元の場合に、分岐則が重複度1となるための複素幾何的な条件を発見し、それを証明した。当該研究は、上記の表現論における研究の「Classical Limit」として、余随伴軌道における「幾何学的重複度1定理」を数学的に厳密に定式化し、それを証明することを目的としている。まず定式化に際しては、一般の半単純リー群では、幕零リー群におけるKirillovの軌道法とは異なり既約ユニタリ表現と余随伴軌道の対応が完全ではないという旧知の困難を鑑み、Corwin-Greenleaf関数を用いて、もっとも強い結果を与える形で定式化を行った。すなわち、「幾何学的重複度1定理」を、既約ユニタリ表現が対応しない余随伴軌道をも含む形で定式化した。さらに、Hermite対称対に対して、余随伴軌道における「幾何学的重複度1定理」を上記の強い形で厳密に証明することに成功した。この結果はスカラー型の正則離散系列表現を極大コンパクト部分群に制限したときの分岐則が重複度1であるという定理(Hua, Kostant, Schmid)の「Classical Limit」に対応している。得られた結果の一部は研究分担者のNasrin, Salmaが北海道で平成15年11月に開催された表現論研究集会で講演を行い、(文献2)として発表した。また、当研究課題の全体像を解説した論文を、Karpalevic教授の追悼号(アメリカ数学会Gindikin教授編纂)に小林俊行とNasrin, Salmaの共著論文(文献1)として出版した。