Classification and geometry of complex algebraic varieties

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Komplex algebraische Mannigfaltigkeiten sind Lösungsmengen algebraischer, das heißt polynomialer Gleichungen. Da sie über den komplexen Zahlen definiert sind, kann man zu ihrem Studium auf Methoden aus der Algebra (Homologische Algebra und Syzygien), der Topologie (Fundamentalgruppen, Monodromie), der Differentialgeometrie (Invarianten der differenzierbaren Struktur, symplektische Strukturen), und der Analysis (Hodge Theorie, Harmonische Abbildungen) zurückgreifen. Da die definierenden Gleichungen algebraisch sind, stehen auch die Methoden der projektiven Geometrie (Korrespondenzen, lineare Systeme, Degeneration) zur Verfügung. Grundlegende Fragen betreffen die Klassifikation von komplexen Mannigfaltigkeiten und von Familien davon (Moduli), schon im Fall von Flächen. Was ist der Zusammenhang zwischen Chern Zahlen und geometrischen Eigenschaften? Welche sind die möglichen Fundamentalgruppen? Inwieweit bestimmt die unterliegende symplektische Struktur den Deformationstyp? Welche sind die "kanonischen" Gleichungen von gewissen Klassen von algebraischen Flächen? Modulräume werden untersucht, besonders deren Kompaktifizierung, und die zugehörigen Chirurgien. Methoden der Homologischen Algebra werden angewandt für die Lösung von konkreten Klassifikationsproblemen (Existenz und Gleichungen von kanonischen Flächen, Existenz von gewissen geraden Knotenmengen). Methoden der Zopfmonodromie und projektive Degenerationen werden zum Studium von symplektischen Invarianten angewandt. Die Methoden der Differentialgeometrie werden neue Resultate ergeben über die extrinsische Geometrie projektiver Varietäten oder über Krümmung von Varietäten. Deligne's Hodge Theorie soll zum Verständnis von Albanese Faserungen quasi-projektiver Varietäten führen. Die Methoden der komplexen Analysis sollen angewendet werden für das Studium von Fundamentalgruppen.