縮小作用素の不変部分空間の研究

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Sz、NagyーFoiasのH^∝ー作用素解析が等距離的であるヒルベルト空間上の縮小作用素はクラスAlの作用素と呼ばれる。クラスAlの作用素はBercoviciーFoiosーPearcyによって定義された性質(Alm)(1≦n≦Ψo)を使って研究されている。性質(Aln)をもつクラスAlの作用素をクラスAlnの作用素であるという。1.ユニタリ拡大の剰余部分と*-剰余部分が共にOであるクラスAlの縮小作用素はクラスAlΨoに属することが知られている。この研究では,ユニタリ拡大の剰余部分が簡約不可能な縮小作用素がクラスAlnに属するための条件をその縮小作用素のFredholur領域でのFredholur指数とそのユニタリ拡大の剰余部分に含まれる両側シフト作用素の最大重複度を使って与えた。これにより,特に重複度nの片側シフト作用素に準相似である縮小作用素はAlnに属し,Al_<n+1>に属さないことが分る。2.クラスAlΨoの作用素に対する互いに素な不変部分空間の存在は知られている。この研究で,クラスAl_2の作用素が互いに素な不変部分空間をもつことを証明した。この証明で使われた方法は,クラスAlの作用素が互いに素な不変部分空間をもたないための必要条件として次の条件(a),(b)を得るために応用できる:(a)その作用素はC_<10>-縮小作用素である,(b)その作用素の単位円板内部のFredholur領域でのFredholur指数は-1である。3.1の結果を使って,片側シフト作用素に準相似である縮小作用素の不変部分空間,超不変部分空間を決定した。