古典場理論に現れる非線型偏微分方程式に対する散乱理論

经典场论中非线性偏微分方程的散射理论

• 批准号: 05740075
• 负责人: 小澤 徹
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740075/
• 关键词: 非線型シュレディンガー方程式; 非線型クライン・ゴルドン方程式; 散乱理論; 遠距離型摂動

非線型のシュレディンガー方程式やクライン・ゴルドン方程式に代表される古典場の偏微分方程式は場の量子論の正当性を根底で支える理論的な拠り所であるばかりでなく非線型偏微分方程式論全般からみても重要な数学的対象である。本研究に於てはこれらの代表的な方程式に対する散乱問題を扱った。不思議なことに物理に登場する重要な方程式の多くは解の漸近解析に関し既存の数学的一般論では丁度扱うことの出来ない境界に位置する。具体的に云えば1+1次元の三次非線型性や1+2次元の二次非線型性に従う場は時間無限大に於て漸近自由場にはならない。本研究では線型理論との類推から位相の歪みを記述するドラ-ド型の修正漸近自由場とは如何に定義されるべきものであるかという問題の考察から始まりその修正漸近自由場に収束する解を構成せよという問題を最終的に解くという定式化に基づいて非線型遠距離散乱の理論の基礎を確立した。位相函数はフーリエ変換を媒介とし擬微分作用素として導入されるべきものである一方元の方程式に戻って考察すればある種のハミルトン・ヤコビ方程式を満足することが必要となる。この厳密解として位相函数を定めるのも一方法であるが本研究では漸近状態によって具体的に表し得る近似解を導入し時間無限大での近似度を非常に取扱い易い条件に置き換えた。修正波動作用素はこの修正漸近自由場に対する摂動方程式と見做される特異積分方程式を縮小写像の方法で解くことによって定義される。非線型散乱問題に於てこのようなプログラムを提出し実際に解いてみせたのは始めての試みであった。更にこの方法は応用が広いことも確認されその他の方程式にも適用できることが解明されつつある。

Non-linear partial differential equations represent the classical field and partial differential equations represent the legitimacy of quantum theory of the field. This paper deals with the problem of scattering in the equation of the equation. The number of important equations that appear in physics is related to the asymptotic analysis of solutions, and the general theory of existing mathematics is related to the state of existence. Concrete cloud 1+1 dimensional cubic non-linear 1+2 dimensional quadratic non-linear field infinite time progressive free field In this paper, we study the linear theory, the analogy, the description of the phase deviation, the definition of the modified asymptotic free field, the investigation of the initial problem, the construction of the solution of the modified asymptotic free field, the final solution, the formulation of the basic theory of non-linear long-distance scattering. The equation of a square element is introduced into the equation. A method for determining the phase function of the solution is proposed. In this paper, the asymptotic state is obtained by introducing the approximation to the infinite time. A modified ratio action element is used to modify the asymptotic free field equation of motion. Non-linear scattered problems are solved in real time by solving them. This method is used to confirm that other equations are applicable.

项目成果

N.Hayashi: "Modified wave operators for the derivative nonlinear Schrodinger equation" Math.Annalen. (出版予定). (1994)

N.Hayashi：“导数非线性薛定谔方程的修正波算子”Math.Annalen（即将出版）。