古典場理論に現れる非線型偏微分方程式に対する散乱理論

经典场论中非线性偏微分方程的散射理论

• 批准号: 05740075
• 负责人: 小澤 徹
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740075/
• 关键词: 非線型シュレディンガー方程式; 非線型クライン・ゴルドン方程式; 散乱理論; 遠距離型摂動

非線型のシュレディンガー方程式やクライン・ゴルドン方程式に代表される古典場の偏微分方程式は場の量子論の正当性を根底で支える理論的な拠り所であるばかりでなく非線型偏微分方程式論全般からみても重要な数学的対象である。本研究に於てはこれらの代表的な方程式に対する散乱問題を扱った。不思議なことに物理に登場する重要な方程式の多くは解の漸近解析に関し既存の数学的一般論では丁度扱うことの出来ない境界に位置する。具体的に云えば1+1次元の三次非線型性や1+2次元の二次非線型性に従う場は時間無限大に於て漸近自由場にはならない。本研究では線型理論との類推から位相の歪みを記述するドラ-ド型の修正漸近自由場とは如何に定義されるべきものであるかという問題の考察から始まりその修正漸近自由場に収束する解を構成せよという問題を最終的に解くという定式化に基づいて非線型遠距離散乱の理論の基礎を確立した。位相函数はフーリエ変換を媒介とし擬微分作用素として導入されるべきものである一方元の方程式に戻って考察すればある種のハミルトン・ヤコビ方程式を満足することが必要となる。この厳密解として位相函数を定めるのも一方法であるが本研究では漸近状態によって具体的に表し得る近似解を導入し時間無限大での近似度を非常に取扱い易い条件に置き換えた。修正波動作用素はこの修正漸近自由場に対する摂動方程式と見做される特異積分方程式を縮小写像の方法で解くことによって定義される。非線型散乱問題に於てこのようなプログラムを提出し実際に解いてみせたのは始めての試みであった。更にこの方法は応用が広いことも確認されその他の方程式にも適用できることが解明されつつある。

经典字段的部分微分方程，例如非线性schrödinger方程和klein-gordon方程，不仅是理论来源，不仅是基于场量子理论的有效性的理论来源，而且从一般的非线性部分微分方程的角度来看，也是重要的数学对象。在这项研究中，解决了这些代表性方程的散射问题。奇怪的是，出现物理学中出现的许多重要方程都在于界限，而现有的数学一般理论无法解决有关解决方案的渐近分析。具体而言，遵循1+1个尺寸立方非线性和1+2维二次非线性的字段不是时间无穷大的渐近领域。这项研究基于与线性理论的类比开头的公式建立了非线性远程散射理论的基础，该公式研究了如何定义驾驶类型修改渐近线的问题，该问题应定义，这描述了相失真，并最终解决了将解决方案构建到修改的渐近线的问题。相位函数应通过傅立叶变换引入伪差异运算符，但是如果我们回顾原始方程，则有必要满足某些汉密尔顿 - 雅各比方程。一种方法是将相位函数定义为此精确解决方案，但是在这项研究中，引入了可以通过渐近状态专门表达的近似解决方案，并且在时间上无穷大的近似程度在非常易于处理的条件下取代。修改后的波动元件是通过求解单数积分方程来定义的，该方程被认为是该修饰的渐近不自由场的扰动方程，它是通过简化的映射方法中的。这是我第一次提交这样的程序来解决非线性散射问题并实际解决。此外，已经证实该方法具有广泛的应用，并且很明显它可以应用于其他方程式。

项目成果

N.Hayashi: "Modified wave operators for the derivative nonlinear Schrodinger equation" Math.Annalen. (出版予定). (1994)

N.Hayashi：“导数非线性薛定谔方程的修正波算子”Math.Annalen（即将出版）。