非線形散乱の長距離理論

非线性散射的长程理论

• 批准号: 08740081
• 负责人: 小澤 徹
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740081/
• 关键词: 非線型シュレディンガー方程式; 非線型クライン・ゴルドン方程式; 散乱理論

非線形のSchrodinger方程式、Klein-Gordon方程式で長い有効距離をもつ相互作用系を散乱問題および初期値問題として扱った。これら古典場の偏微分方程式は場の量子論の正当性を根底で支える理論的拠り所であるばかりでなく非線型偏微分方程式の理論体系から見ても重要な数学的対象である。非線型効果の長時間的影響には方程式のもつ様々な個性が関与する為既存の一般論では的確に取扱えないという困難を常に内包している。特に時空1+1次元の三次非線型性或いは1+2次元の二次非線型性は物理的にしばしば現れるモデルであるが時間無限大においてその波動函数は漸近自由解には収束しない。これは漸近自由解を立脚点とする従来の非線型散乱理論においては深刻な問題であり1970年代に始まり現在に至る迄少しずつ認識されてきた経緯がある。一般的に云ってこの問題は低次元空間における低次非線型性をもつ偏微分方程式に数多く起こり物理的には波動函数の位相因子の歪みとなって現れる。さて上記問題を合理的に解決せよというのがReadの問題であり長年に亘り未解決であった。研究代表者はまずFlato-Simon-TaflinのMaxwell-Dirac系を扱った研究を手掛りとし上記問題を空間一次元のSchrodinger方程式について解決した。次いでその理論の高次元化に取組みGinibreとの共同研究にてこれを成功させた。同様の試みはKlein-Gordon方程式についても成功するものと思われるが現在の所完成していない。但し空間二次元の二次非線型性の相互作用系についてはその数学的機構はほぼ明らかとなった。具体的には波動函数のもつ光円錐状での特異性発生の構造をポワンカレ群の生成作用素のなす不変ソボレフ空間にて解析的に記述することに成功し位相因子の歪みの統制が可能であることを示した。

Non-linear Schrodinger equation, Klein-Gordon equation, long range, interaction system, scattering problem, initial range problem, etc. The validity of quantum theory of classical field partial differential equations and quantum theory of field is based on the theory of nonlinear partial differential equations. Non-linear effect of the long time the impact of the equation and the personality of the relationship between the existing general theory and the fact that it is difficult to contain In particular, the cubic nonlinearity of 1+1 dimensional space-time or the quadratic nonlinearity of 1+2 dimensional space-time is a function of asymptotic free solution. The evolutionary free solution is based on nonlinear scattering theory, which has been widely recognized since the 1970s. The general problem is that of low-dimensional space, low-order nonlinearity, partial differential equations, and physical phase factors. The problem is not solved properly. The representative of the research team has studied the Maxwell-Dirac system of Flato-Simon-Taflin and solved the problem of spatial first-order Schrodinger equation. The theory of high dimensionalization of Ginibre's joint research is successful. In the same way, the Klein-Gordon equation was successfully solved. However, the spatial quadratic nonlinear interaction system is a mathematical mechanism. The specific structure of the ratio function is described in detail in the form of a cone of light.

项目成果

R.Agemi: "Nonlinear Waves" 学校図書,Gakuto International Series for Mathematical Sciences, 540 (1997)

R.Agemi：“非线性波”教科书，Gakuto 国际数学科学系列，540 (1997)

N.Hayashi: "Dilation method and smoothing effect of solutoins to the Benjamin-Ono equation" Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 126. 273-285 (1996)

N.Hayashi：“本杰明-小野方程解的膨胀方法和平滑效应”爱丁堡皇家学会会议录。

T.Ozawa, K.: "Global existence and asymptotic behavior of solutions for the Klein-Gordon equations with quadratic nonlinearity in two space dimensions" Mathematische Zeitschrift. 222. 341-362 (1996)

T.Ozawa, K.：“二维空间中具有二次非线性的 Klein-Gordon 方程解的全局存在性和渐近行为”Mathematicische Zeitschrift。

T.Ozawa: "On nonlinear Schrodinger equations derivative type" Indiana University Mathematical Journal. 45. 137-163 (1996)

T.Ozawa：《论非线性薛定谔方程的导数类型》印第安纳大学数学杂志。

T.Ozawa: "Space-time estimated for null gauge forms and nonlinear Schrodinger equations" Differential and Integral Equations. (in press). (1997)

T.Ozawa：“零规范形式和非线性薛定谔方程的时空估计”微分方程和积分方程。