曲線の基本群への有理数体の絶対ガロア群のフィルター付き表現

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まず挙げるべきである成果として,BelyYの単射性の一般化予想をaffine曲線の場合に解決したこと,並びに織田のモジュライ空間に関連した体の塔に関する予想を部分的に解いたことがある。これらは、次のようにして成された。伊原との共同研究により,<GT>^^^∧のDrinfeldによるBraid groupのprofinite completion B^^∧nへの作用が,絶体ガロア群G_<【symmetry】>の,点の平面上の配置空間Bo,nA^1の代数的基本群への作用と,良いtangential base pointを取ることでcompatibleにできることが示されていたが,この結果を一般の代数曲線Xに一般化することに成功した。すなわち,G_<【symmetry】>→Aut π^<alg>_1(Bo,nX【cross product】【symmetry】^^-,β)が射影直線引く3点ならびにXの代数的基本群へのガロア作用に分解できることを示した。これにより,P^1-{0,1,00}と種数の高い曲線Xへの作用の比較が可能となり,affine代数曲線Xに対してG_<【symmetry】>→Out π^<alg>_1(X【cross product】【symmetry】^^-,*)の単射性が示された。これは広く知られた予想であった。次に,Lie環に移行することで,フィルター付き表現での比較が行えて,織田の予想を部分的に解決することができた。これらの結果は現在論文投稿中である。その他、Grothendieck予想に関連して、Hilbertの既約性定理を利用して、Out_<Gk>π^<alg>_1^<pro-l>(X^^-)={1}となる種数≧2のproper curve Xを無限に多く構成し、Out_<Gk>π^<alg>_1^<pro-l>(X^^-)={±1}となる:hyper elliptic curveがmoduli上Hilbertの意味でthickに存在することを、玉川と共に示した。