Numerische Approximation und Spektralanalyse unendlich-dimensionaler dynamischer Systeme

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Gegenstand des Projekts ist die Entwicklung und Analyse numerischer Methoden zur Approximation unendlich dimensionaler dynamischer Systeme. In den letzten Jahren sind eine Vielzahl von Methoden entwickelt worden, um das Langzeitverhalten endlich dimensionaler dynamischer Systeme direkt, d.h. ohne Langzeitsimulation von Einzeltrajektorien, zu untersuchen. Zum einen werden dabei Gleichgewichtszustände oder - allgemeiner - periodische und homokline Orbits als Lösungen von Randwertproblemen in der Zeit bestimmt. Zum anderen werden allgemeine Attraktoren durch Systeme sich verfeinender Boxen so überdeckt, daß man mit einer Vielzahl kurzer Trajektorien auskommt. In beiden Fällen führt man anschließend eine Spektralanalyse durch, im ersten Fall, um die Stabilität aus der Linearisierung entlang der Lösung abzulesen, im zweiten Fall, um die auf dem Attraktor verbleibende Dynamik durch Eigenwerte und Eigenmaße von Transferoperatoren (Perron Frobenius) zu beschreiben. Ziel des Projektes ist es, die methodischen und analytischen Grundlagen für eine Erweiterung auf unendlich dimensionale Systeme zu legen. In der Theorie sollen vor allem die Effekte zeitlicher und räumlicher Diskretisierung, insbesondere der Übergang von unendlichen zu endlichen Gebieten analysiert werden.Als Teil dieser weit gefaßten Zielsetzung werden im vorliegenden Projekt speziell zeitkontinuierliche dynamische System auf unendlichen Gittern (lattice dynamical systems) untersucht, wie sie in vielen Anwendungen der statistischen Mechanik, der Biologie und der chemischen Reaktionskinetik auftreten. Für anregbare nichtlineare Systeme auf regulären Gittern findet man in der Langzeitdynamik typischerweise wandernde Fronten und Pulse (travelling waves). Für sie werden numerische Methoden entwickelt (Einschränkung auf ein endliches Gitter mit asymptotischen Randbedingungen, Stabilitätsanalyse), und es wird analysiert, wie sich das (i.a. kontinuierliche) Spektrum der Linearisierung beim Übergang zum endlichen Gitter bzw. zur räumlich kontinuierlichen partiellen Differentialgleichung verhält. Die numerischen Methoden sollen auch genutzt werden, um auf irregulären Gittern, die durch Fraktrale erzeugt werden, das Spektralverhalten im linear diffusen Fall und Gleichgewichte im nicht-linearen Fall zu studieren.Für globale Attaktoren auf unendlichen Gittern wird angestrebt, eine approximale Methode auf einem endlichen Gitter aufzustellen, die die Translationsinvarianz des Gitters ausnutzt und geeignete Randbedingungen verwendet. Insbesondere wird das Verhalten der Spektren und Eigenmaß des Transferoperators unter dieser Approximation untersucht.