種々の幾何構造に於ける共形不変性

各种几何形状的共形不变性

• 批准号: 08640127
• 负责人: 神島 芳宣
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Kumamoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640127/
• 关键词: 幾何構造; 共形幾何学; CR幾何学; 四元数双曲幾何; 幾何学流れ; 大域的剛体性; Seifert予想; モデル空間

現在ではGauge理論と呼ばれるH.WeylのConformal Structure(共形構造)の理論を多様体のRiemann幾何学のみならず,他の種々の幾何学に展開して,新たな幾何構造と不変量を見つけることを研究した。そのために我々は多様体上の幾何構造に対して次のプロジェクトを考え,下記の様な成果を得た。多様体上のGeometric Flow(流れ)とGlobal Rigidity(剛体性).球面を実(複素)双曲空間の境界とみなす時,等長変換(isometry)はその境界上にそれぞれ共形変換(Cauchy-Riemann変換)として作用することが知られている。同様にして,(4n+3)次元球面S^<4n+3>は4元数双曲空間の境界とみなされ,4元数双曲空間H^<n+1>_F上の等長変換群Iso(H^<n+1>_F)=PSp(n+1,1)はその境界S^<4n+3>上に射影変換として作用する。この幾何学(PSp(n+1,1),S^<4n+3>)を疑-4元数平坦構造(pseudo-quaternionic flat structure)という。この幾何学に局所的にモデルされる(4n+3)次元多様体を疑-4元数平坦多様体という。我々はgeometric flow(幾何構造を保つ流れ)に関して次のrigidity(剛体性)を得た。定理(Rigidity) : 4n+3次元コンパクト疑-4元数平坦多様体Mに対し,その疑-4元数変換群(pseudo-quaternionic transformations group)の連結成分,Aut_<FSp>(M)^0,がノンコンパクトなら,Mは標準球面S^<4n+3>に疑-4元数平坦的に同値である。この結果は共形変換群に関する小畠,Lelong-Ferrandの定理に関する4元数双曲幾何の場合の一般化である。また,3次元球面S^3上の任意の零でないC^r-flow(r【greater than or equal】1)は少なくともひとつの閉軌道をもつかというSeifert予想に対して考えた。この予想自体は現在,球面に限らず任意のコンパクト3-多様体において閉軌道を持たないC^1-flowがあり,一般に成り立たない。しかしながら,我々は幾何構造を持つコンパクト多様体上の幾何構造を保つflowに対してはSeifert予想は肯定的ではないかと予想し,特に,Conformal flow,CR flowに対しては正しい事を示した。さらに上の結果により疑-4元数平坦flowに対してもSeifert予想は肯定的に解かれることを示した。

Now, Gauge Theory is called H.Weyl's Conformal Structure Theory, and Riemann Geometry of Multibodies is developed into a new geometric structure. The geometric structure of the multi-layer structure is studied, and the results are recorded below. Geometric Flow and Global Rigidity on Multi-bodies. When the boundary of a spherical hyperboloid space is complex, isometry and boundary are conformal transformations. In the same way,(4n+3)-dimensional sphere S^<4n+3> is the boundary of a quaternion hyperbolic space, and the isometrical transformation group Iso(H^<n +1>_F)=PSp(n+1,1) on a quaternion hyperbolic space H^<4n+3> is the projective transformation group on a quaternion hyperbolic space S^<4n+3>. Geometry (PSp(n+1,1),S^<4n+3>) is a pseudo-quaternion flat structure. The geometry of this problem is the (4n +3) dimensional polyhedron, the-4-dimensional flat polyhedron. I have found that rigidity is the key factor in geometric flow(geometric structure is maintained). Rigidity theorem: 4n+3 dimensional C ~ <FSp>n ~ n ~ This result is a generalization of Lelong-Ferrand theorem for quaternion hyperbolic geometry. C^r-flow(r [greater than or equal] 1) is a small number of closed orbits on the three-dimensional sphere S^3. This idea is based on the fact that the sphere is limited to any 3-dimensional closed orbit, and the general structure is stable. The geometric structure of the multi-object is maintained by the flow, and the Seifert is thought to be positive. In particular, the Conformal flow,CR flow is shown to be positive. The result is a 4-dimensional flat flow. Seifert wants to be sure.

项目成果

Yoshinobu Kamishima: "Topology of CR-manifolds and Kahler mdnifolds" Topology and Geometry,Proceedings of Workshops in Pure Math.15. 42-93 (1996)

Yoshinobu Kamishima：“CR 流形和卡勒流形的拓扑”拓扑与几何，纯数学研讨会论文集.15。

Yoshinobu Kamishima: "Uniformization of Kahler manifolds with vanishing Bochner tenser" Acta Matlematica. 172. 299-308 (1994)

Yoshinobu Kamishima：“卡勒流形的均匀化与消失的博赫纳张量”Acta Matlematica。

Yoshinobu Kamishima: "Geometric flows on Compact Monifolds and Global rigidity" Topology. 15. 439-450 (1996)

Yoshinobu Kamishima：“紧凑流形上的几何流和全局刚性”拓扑。

Yoshinobu Kamishima: "Standard pseudo-Hergnitian Structure and Seifert fibration on CR monifold" Annals of Global Analysis and Geometry. 12. 261-289 (1994)

Yoshinobu Kamishima：“CR 单元上的标准伪赫尼特结构和 Seifert 纤维”全局分析和几何年鉴。

Yoshinobu Kamishima: "Locally Conformally Kahlerian Structures and Uniformization" Geometry,Topology and Physics,Proceedings,Gruyter. 1. 1-18 (1997)

Yoshinobu Kamishima：“局部共形卡勒结构和均匀化”几何、拓扑和物理，论文集，Gruyter。