種々の幾何構造に於ける共形不変性

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現在ではGauge理論と呼ばれるH.WeylのConformal Structure(共形構造)の理論を多様体のRiemann幾何学のみならず,他の種々の幾何学に展開して,新たな幾何構造と不変量を見つけることを研究した。そのために我々は多様体上の幾何構造に対して次のプロジェクトを考え,下記の様な成果を得た。多様体上のGeometric Flow(流れ)とGlobal Rigidity(剛体性).球面を実(複素)双曲空間の境界とみなす時,等長変換(isometry)はその境界上にそれぞれ共形変換(Cauchy-Riemann変換)として作用することが知られている。同様にして,(4n+3)次元球面S^<4n+3>は4元数双曲空間の境界とみなされ,4元数双曲空間H^<n+1>_F上の等長変換群Iso(H^<n+1>_F)=PSp(n+1,1)はその境界S^<4n+3>上に射影変換として作用する。この幾何学(PSp(n+1,1),S^<4n+3>)を疑-4元数平坦構造(pseudo-quaternionic flat structure)という。この幾何学に局所的にモデルされる(4n+3)次元多様体を疑-4元数平坦多様体という。我々はgeometric flow(幾何構造を保つ流れ)に関して次のrigidity(剛体性)を得た。定理(Rigidity) : 4n+3次元コンパクト疑-4元数平坦多様体Mに対し,その疑-4元数変換群(pseudo-quaternionic transformations group)の連結成分,Aut_<FSp>(M)^0,がノンコンパクトなら,Mは標準球面S^<4n+3>に疑-4元数平坦的に同値である。この結果は共形変換群に関する小畠,Lelong-Ferrandの定理に関する4元数双曲幾何の場合の一般化である。また,3次元球面S^3上の任意の零でないC^r-flow(r【greater than or equal】1)は少なくともひとつの閉軌道をもつかというSeifert予想に対して考えた。この予想自体は現在,球面に限らず任意のコンパクト3-多様体において閉軌道を持たないC^1-flowがあり,一般に成り立たない。しかしながら,我々は幾何構造を持つコンパクト多様体上の幾何構造を保つflowに対してはSeifert予想は肯定的ではないかと予想し,特に,Conformal flow,CR flowに対しては正しい事を示した。さらに上の結果により疑-4元数平坦flowに対してもSeifert予想は肯定的に解かれることを示した。