K3局面の数論

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森田康夫は昨年度までの分担者であった佐武一郎と協力しながら、本年度もK3-曲面の数論的性質をK3-曲面に対応する久賀・佐武のアーベル多様体を手掛かりとして研究した。具体的には、2次元のアーベル多様体Bが体k-上定義される場合に、Morrisonが構成したBのべきからそれを位数2の自己同型で割った特異点を持つ多様体を非特異化してできるクンマー曲面の久賀・佐武のアーベル多様体へのisogenyが、どのような体上で定義されるかを詳しく調べた。また、2次元のアーベル多様体Bが体k上定義される場合に、それを位数2の自己同型で割ってできるクンマー曲面の2次元のコホモロジーにおけるk上の絶対ガロア群の作用を調べ、このクンマー局面の上の代数曲線の分布と性質を研究した。さらに2次元のアーベル多様体Bが体k上定義される場合に、特異点を持つクンマー曲面のk一有理点は、kの2次拡大体K上のBの有理点と対応することを使って、この特異点を持つクンマー局面の上のk有理点の分布を研究した。佐藤篤は、2次元のアーベル多様体Bが体k上定義された楕円曲線の直積E×Eの場合に、BのE上のsectionsから生じるBから得られるクンマー曲面上のk-有理点の高さに関する漸近分布を研究した。また、Weierstrass方程式で与えられた体k上定義された楕円曲線Eと、Eのk上定義された有限部分群Γが与えられたとき、EのΓによる商群E'=E/Γのk上の定義方程式を具体的に与えるのがVeluの公式であるが、佐藤篤はVeluの公式を使って代数体の不分岐巡回拡大の密度を研究した。石田正典は、K3局面の数論への応用を視野に置いてトーリック多様体の性質を研究した。伊藤浩行は、我々の研究と密接に関連する標数が正の体上の準楕円曲面の研究を行った。梶原健は、我々の研究と関連のあるアーベル曲面の4次元トーリック多様体への埋め込みを研究した。