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多様体の収束・崩壊の一般理論の構築に向けて

构建流形收敛和崩溃的一般理论

基本信息

批准号：
21H00977
负责人：
山口孝男
金额：
$ 6.41万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

曲率が上に有界な距離空間は局所CAT(1)空間ともよばれ、幾何学的群論をはじめ、他分野にも広く関連する。そのような空間の局所構造は極めて複雑で、これまで２次元においてすら未解明のままであった。これまでの研究で、我々は曲率が上に有界な２次元距離空間の局所構造を決定した。これは、曲率が上に有界な距離空間の一般的な局所構造を(２次元ではあるものの)世界で初めて解明したという点でも意義深い。今年度の本研究においては、そのような空間の局所CAT(1)多面体によるホモトピー近似とガウスボンネ定理を得た。ガウスボンネの定理を示す第一段階として空間の曲率測度を、空間をホモトピー近似する局所CAT(1)多面体の曲率測度の極限として定式化した。すると一般の空間のホモトピー収束が曲率測度の収束を導くことも自然に従う。さらに曲率測度の特異集合上の明示公式も得た。また線織面の存在と距離円のホモトピー型がそのような空間の特徴づけることを証明した。(永野幸一氏と塩谷隆氏との共同研究）非崩壊の枠組みにおけるアレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー収束に関して、定性的な結果が三石・山口により知られていた。我々はこの結果を改良し、定量的な結果を得た。すなわち①リプシッツ・ホモトピー収束に関わるすべてのリプシッツ写像の一様なリプシッツ定数が存在することを示し、②このリプシッツ・ホモトピー収束の下で extremal subsetsが極限空間の extremal subsetsに写されること、③空間の正則部分では殆ど等張的であることを示した。証明の鍵は、アレクサンドロフ空間のgood covering(良い被覆)を、そのサイズの一様性をキープしたまま任意に小さく取れることを示すことであり、Perelman-Petrunin の結果を拡張進展させることによりこれを示した。（三石史人氏、藤岡禎司氏との共同研究）

Curvature is bounded by space, and geometric group theory is bounded by space. The structure of the space is very complex, and the structure of the space is very complex. The curvature of the space is determined by the local structure of the bounded two-dimensional distance space. The curvature is bounded above the distance space and the general structure of the bureau is constructed (2-dimensional). The world is first solved and the meaning is deep. In this paper, we obtain the theorem of space structure CAT(1) polyhedron. The first order curvature measure of space is expressed by the theorem of polyhedron. The limit of polyhedron curvature measure of space is expressed by the theorem of polyhedron. The general space of the beam curvature measurement of the beam guide An explicit formula for curvature measure on a distinct set is obtained. The existence and distance of the thread texture surface are proved. (A joint study by Yukiichi Nagano and Takashi Saitani) Non-collapse of the group center, the space, the relationship between the qualitative results and the three stone, Yamaguchi, the knowledge of the middle. I want to improve the results, quantitative results. The number of extreme subsets in extreme space under the bundle of images exists, and the regular part of the space is almost equal to the number of extreme subsets under the bundle of images. Prove that the key is good covering, and the key is good covering. (A joint study by Shiren Miishi and Sadashi Fujioka)