多様体の収束・崩壊の一般理論の構築に向けて

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曲率が上に有界な距離空間は局所CAT(1)空間ともよばれ、幾何学的群論をはじめ、他分野にも広く関連する。そのような空間の局所構造は極めて複雑で、これまで２次元においてすら未解明のままであった。これまでの研究で、我々は曲率が上に有界な２次元距離空間の局所構造を決定した。これは、曲率が上に有界な距離空間の一般的な局所構造を(２次元ではあるものの)世界で初めて解明したという点でも意義深い。今年度の本研究においては、そのような空間の局所CAT(1)多面体によるホモトピー近似とガウスボンネ定理を得た。ガウスボンネの定理を示す第一段階として空間の曲率測度を、空間をホモトピー近似する局所CAT(1)多面体の曲率測度の極限として定式化した。すると一般の空間のホモトピー収束が曲率測度の収束を導くことも自然に従う。さらに曲率測度の特異集合上の明示公式も得た。また線織面の存在と距離円のホモトピー型がそのような空間の特徴づけることを証明した。(永野幸一氏と塩谷隆氏との共同研究）非崩壊の枠組みにおけるアレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー収束に関して、定性的な結果が三石・山口により知られていた。我々はこの結果を改良し、定量的な結果を得た。すなわち①リプシッツ・ホモトピー収束に関わるすべてのリプシッツ写像の一様なリプシッツ定数が存在することを示し、②このリプシッツ・ホモトピー収束の下で extremal subsetsが極限空間の extremal subsetsに写されること、③空間の正則部分では殆ど等張的であることを示した。証明の鍵は、アレクサンドロフ空間のgood covering(良い被覆)を、そのサイズの一様性をキープしたまま任意に小さく取れることを示すことであり、Perelman-Petrunin の結果を拡張進展させることによりこれを示した。（三石史人氏、藤岡禎司氏との共同研究）