ミラー対称性と平坦構造の導来圏の幾何学による研究

平面结构的镜像对称性和派生类别的几何学研究

• 批准号: 17740036
• 负责人: 高橋 篤史
• 金额: $ 2.18万
• 依托单位: Osaka University (2007)Kyoto University (2005-2006)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2007
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17740036/
• 关键词: 代数学; 幾何学; 数理物理学; ミラー対称性

ミラー対称性とは,2つの位相的弦理論(リーマン面から多様体への正則写像の数え上げに対応するA模型と複素多様体の変形理論に対応するB模型)の等価性である.ミラー対称性や位相的弦理論は多様体の定性的および定量的な性質に関するさまざまな予想を与え,これまで個別に研究されてきた数学を結び付けるので極めて興味深い.これらの物理的対象を数学的に定式化して,ミラー対称性の背後にある数学的真理を解明するのは非常に重要な問題である.本年度も引き続き,特異点の圏論的取り扱いによる「平坦構造」の統一的導出を目的として研究を行ってきた.より具体的には,特異点理論で80年代中旬に開発された「行列分解」のアイデアと「Landau-Ginzburgorbifold理論」と呼ばれる物理理論により,3変数重み付き斉次多項式で定まる特異点と有限次元非可換代数の間にあるミラー対称性予想を数学的に定式化し,その証明を目標とした。とくに,アーノルドの「奇妙な双対性」のホモロジー的ミラー対称性の観点による新たな解釈を得て,論文「Categories of graded matrix factorizations for regular systems of weights with ε=-1」(arXiv:07080210)としてまとめた.また論文「Weighted Projective Lines Associated to Regular Systems of Weights Dual Type」(arXiv:0711.3907)において,ミラー双対をもつ2次元超曲面特異点の三角圏はある有限次元微分次数付環の導来圏と同値になることを示した

米勒对称性是两种拓扑弦理论的等效性（对应于从里曼表面到歧管的常规地图计数的A模型，而B模型对应于复杂歧管的变形理论）。米勒对称和拓扑弦理论提供了有关歧管的定性和定量特性的各种预测，并且非常有趣，因为它们结合了以前已经研究过的数学研究。在数学上制定这些物理对象以揭示镜像对称性背后的数学真相非常重要。这是一个重要的问题。今年，我们继续进行研究，目的是通过球形处理奇异性统一“平坦结构”的衍生。更具体地说，我们在数学上以基于“ Matrix分解”的概念来提出奇异性和有限的非工具代数之间镜像对称性的预测。 “ Landau-Ginzburgorbifold理论”，我们在数学上提出了由3变量加权对称的多项式确定的奇异性和有限二维的非义务代数之间的镜像对称性的预测，并旨在证明这一点。特别是，我们从同源镜子对称性方面获得了对阿诺德的“奇怪二元性”的新解释，并将其汇编为“纸的类别”，用于定期使用ε= -1的权重系统的分级矩阵因子的类别（arxiv：arxiv：07080210）。此外，在论文“与常规重量系统双重类型系统相关的加权射影线”（ARXIV：0711.3907），我们已经表明，二维超表面奇异性的三角形球体具有镜偶双重偶，等于与某个有限的差异差分级别的衍生型相。

项目成果

Homological Mirror Symmetry for Isolated Hypersurface Singularities in one dimension

一维孤立超曲面奇点的同调镜像对称

• 发表时间: 2008
• 作者: 梶浦宏成;齊藤恭司;高橋篶史;Kyoji Saito;Atsushi Takahashi;Atsushi Takahashi
• 通讯作者: Atsushi Takahashi

行列因子化とミラー対称性

矩阵分解和镜像对称

• 发表时间: 2007
• 作者: 梶浦宏成;齊藤恭司;高橋篶史;Kyoji Saito;Atsushi Takahashi;Atsushi Takahashi;Kyoji Saito;Atsushi Takahashi;Kyoji Saito;Kyoji Saito;Kyoji Saito;Atsushi Takahashi
• 通讯作者: Atsushi Takahashi