ミラー対称性と周期の幾何学

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ミラー対称性現象のより深い理解を得るため，以下の課題の解決を目標として，周期の幾何学的理論の基礎研究を行ってきた：１）非可換ホッジ構造に対する整数構造・偏極の基礎理論構築．また，圏論的エントロピーの研究．２）量子原始形式の理論の構築．３）Gromov-Witten不変量・原始形式・Weyl群不変式を結びつける，ミラー対称性と周期写像の理解．４）導来圏の安定性条件の空間の構造解明，とくにGromov-Witten不変量による周期写像との比較．なお，基盤研究(S)に採択されたため，研究期間は2か月であった．研究代表者は，群作用付超曲面特異点のミラー対称性に主として取り組んだ．そこで，完全交叉特異点とオービフォールド曲線の退化とのミラー対称性現象を発見，論文として発表した．一方，セール函手のエントロピーにより「共形次元」を定義・基本予想を定式化した．研究分担者入谷寛は，グロモフ・ウィッテン理論をミラー対称性を通じて調べ，特にその保型性や収束性を研究した．具体的にはフェルマー型カラビ・ヤウ超曲面の商の全種数のグロモフ・ウィッテン理論，またトーリック軌道体に対するホッジ理論的ミラー対称性を調べた．研究分担者小西由紀子は，コクセター群の軌道空間上のフロベニウス構造を複素鏡映群へ拡張を目標とした基礎研究を行った．とくに，Dubrovin によるフロベニウス構造における概双対性を計量なし齋藤構造へ一般化し，それを応用して既約複素鏡映群の軌道空間上の計量なし齋藤構造を構成した．研究分担者岩木耕平は，原始形式の量子化に向けて，Eynard-Orantinの位相的漸化式を用いた代数曲線の量子化の研究を行った. 具体的には，位相的漸化式による量子化として，第2型のPainleve方程式に付随する等モノドロミー系のWKB解が構成されることを示した．