q-Analoga diskreter Strukturen, ihre Konstruktion, Klassifizierung und Anwendung

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Es sollen zunächst q-Analoga von t-Designs systematisch konstruiert und klassifiziert werden. Sie entstehen aus den klassischen kombinatorischen Designs durch Ersetzen von Mengen durch Vektorräume und von Ordnungen durch Dimensionen. Diese Verallgemeinerung bedeutet gleichzeitig natürlich einen starken Anstieg der Komplexität. Die Methode wird die Vorgabe von Gruppen von Automorphismen sein. Hierbei sind die im klassischen Fall verwendeten Permutationsgruppen durch lineare Gruppen zu ersetzen. Diese Vorgabe ermöglicht eine enorme Datenreduktion, wodurch nichttriviale Beispiele erstmals in die Reichweite von Computern geraten. Sie erfordert allerdings eine sehr genaue Untersuchung und algorithmische Verwendung linearer Gruppen. Hierzu bedarf es vor allem neuer Algorithmen (u.a. der Ersetzung von Bahnenalgorithmen durch Fixpunktbetrachtungen). Die algorithmischen Ergebnisse sollen implementiert und frei verfügbar werden. Parallelisierung der bisherigen Algorithmen ist naheliegend und erforderlich. Nach den q-Analoga von Designs werden wir uns p-Gruppen und den linearen Codes zuwenden, die als q-Analoga von Blockcodes aufgefasst werden können.