ゼータ関数から派生する関数空間の諸性質の研究

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昨年度までに行った正準系のスペクトル逆問題についての研究から、screw関数の理論とゼータ関数の関連が発見された。Screw関数は、古典的な解析学において重要な対象であり、ヒルベルト空間上の正定値な積分作用素の積分核の理論と深く関係している。研究代表者は本年度、Riemannゼータ関数からある特殊なscrew関数を定義し、その解析的性質や、Riemann予想に代表されるRiemannゼータ関数の零点分布との関係を幾つも明らかにした。これらの成果の一つとして、1952年にA. Weilが提唱した分布を用いたRiemann予想の規準が、通常の積分作用素の積分核の正定値性によって述べられることを示した。一方、1990年に吉田敬之氏は、Weilの分布を用いて定義されるあるエルミート形式が、ある関数空間上で非退化であることとRiemann予想が同値であることを発見した。研究代表者は、screw関数を用いて、実数上の二乗可積分関数の成すヒルベルト空間とその上の積分作用素を用いて定式化できる類似の結果を示した。これらをはじめとする幾つかの結果を、国内外の研究集会で発表し、何篇かの論文にまとめてプレプリントサーバで公開した。また、昨年度までに行っていた正準系のスペクトル逆問題に関する研究について、系の解が整関数とは限らない場合、系のハミルトニアンが非負値とは限らない場合、または系の解から本研究課題の手法で構成される作用素の核が関数ではなく分布である場合に、これまで得られていた結果の証明の修正や改良、議論の整理、定式化の再検討などを行った。これらの一部は専門誌で発表された。