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ライデマイスタートーション、モース理論による非可換不変量と3次元の幾何構造の研究

利用莫尔斯理论研究Reidemeister挠率、非交换不变量和三维几何结构

基本信息

批准号：
08J07685
负责人：
北山貴裕
金额：
$ 1.15万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は特に非可換な変換群を持つ被覆空間から3次元多様体の位相構造を捉えることを目的として、位相不変量であるReidemeister torsionが非可換な係数を持つ場合の同一曲面の間のhomology同境であるhomology cylinderへの応用、基本群の線形表現を与えられたときに定まるねじれAlexander多項式の次数に関する制限についての研究を行った結果,以下のように,homology cylinderの新しい研究手法が確立され、Alexander不変量の一つの基本性質が明らかになった。1.非可換係数のReidemeister torsionによるhomology cylinderの成す代数構造の研究まず、曲面からの包含写像が基本群の(m+1)階の可解商上に同型写像を導くようなhomology cylinderとして、コンパクト有向曲面の間のm次homology cylinderを導入し、正数mと第1Betti数が正である曲面に対して、それらの成すモノイドとそのhomology同境群が通常のhomology cylinderに対するものとは異なる曲面の写像類群の拡大であることを示した。更に、全てのmと第1Betti数が正である境界付き曲面に対して、曲面群の同様の可解商に自明に作用する既約なm次homology cylinderたちの成すモノイドが無限ランクのアーベル群を商として持つことを示した。2.ねじれAlexander多項式の次数とThurston normの関係線形表現に対する精密化されたReidemeister torsionの双対定理を示した。帰結として、境界が空かトーラスからなる向き付け可能なコンパクト既約3次元多様体に対して、双対と共役である線形表現と全ての境界成分への制限が非自明となるような第1cohomology群の原始的な元に付随するねじれAlexander多項式の次数が、線形表現の次元と第1cohomology類のThurston normの積と偶奇性が等しいことが得られた。

This year, the phase structure of a three-dimensional multi-dimensional solid is studied by using the homology cylinder and the linear representation of a fundamental group. The results are as follows: The new research methods of homology cylinder are established, Alexander does not measure the basic properties of a cylinder. 1. A Study on the Algebra Construction of the Homology Cylinder for Reidemeister Torsion with Noncommutative Coefficient; A Study on the Homology Cylinder for the Homology Cylinder for the The homology of the surface is the same as that of the common homology cylinder. In addition, all m and the 1st Betti number are positive, and the surface pairs and surface groups are identical, and the solvable quotient is self-evident. 2. The linear representation of the relation between the degree of Alexander polynomial and Thurston norm is refined and the Reidemeister torsion theorem is shown. The boundary element of the 1st cohomology group has the degree of Alexander polynomial and the product of Thurston norm of the 1st cohomology class has the singularity.