反復強制法と連続体の集合論

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平成24年度は、強制法の理論と実数の集合論とその相互関係について共同研究を行った。特に、反復強制法などの組合せ論的集合論の最先端の技法を用いることによって、連続体の基数不変量や自然数全体上のイデアルなどの連続体の構造を説明する概念や、最小の非可算な基数ω_1上の順序形などの構造を調べた。主な研究成果は下記通りである。(1)Mad families constructed from closed almost disjoint families.外国人特別研究員と受入研究者は、その和集合が無限な極大のほとんど交わりがない集合族(mad family)となるような閉集合の族の最小の濃度として定義されるclosed almost disjointness number a (closed)とその他の基数不変量との関係を調べた。特に、bounding number bがa (closed)より真に小さいことが無矛盾であることを反復強制法によって証明した。(2)Selective coideals on the natural numbers.外国人特別研究員はPaul Larsonとの共同研究で、決定性の公理の強化であるAD(R)のもとで自然数上の強い組合せ論的性質をもつ余イデアルの存在を調べており、tall strategically seIective coidealsが存在しないことを証明した。(3)Tukey types of directed sets.外国人特別研究員はStevo Todorcevicとの共同研究で、強制法公理の1つであるPID+b>ω_1のもとで有向集合の5つのTukey typeだけ存在することが証明できないことを示した。研究の計画通り、科学研究費補助金を主に海外研究協力者との共同研究を行うために必要である旅費として使用した。例えば、Raghavanは上記の(3)のTodorcevicとの共同研究を2012年6月のシンガポール国立大学への訪問の際に行った。