整凸多面体の正規性を巡る組合せ論的及び代数的側面の探究

本研究課題の目的は、整凸多面体の正規性にまつわる様々な性質の研究、具体的には①正規整凸多面体のδ列のunimodal性②非特異整凸多面体のトーリックイデアルの二次生成性の研究である。これらの研究を進めるに当たり、平成２６年度は、具体的かつ理にかなった整凸多面体のクラスについての研究を行った。研究①について、まずは“膨らませた”整凸多面体のδ列についての研究を行った。任意の整凸多面体は十分膨らませれば正規になることがよく知られている。整凸多面体の次元をdとし、整凸多面体の次数と呼ばれる不変量をsとおくとき、任意のn≧max{d+1-s,s}に対して、n倍に膨らませた整凸多面体のδ列は常にunimodalになることを証明した。研究②について、まずは非特異Fano凸多面体についての研究を行った。具体的には非特異Fano凸多面体をより深く理解するために、非特異Fano凸多面体のF同値類と呼ばれるものに関する結果を得た。また整凸多面体のδ列の研究に関して、Benajmin Nill氏・土谷昭善氏との共同研究により、δ多項式が三項式になるような整凸多面体を完全に分類することにも成功した。さらに、整凸多面体のミンコフスキー和の正規性や“level”と呼ばれる性質に関しても一定の結果を得ている。これらは整凸多面体に付随する半群環であ“Ehrahrt環”の環論的性質とも関連し、今後の研究の手助けにもなり得る研究結果である。

本研究課題の目的は、整凸多面体の正規性にまつわる様々な性質の研究、具体的には①正規整凸多面体のδ列のunimodal性②非特異整凸多面体のトーリックイデアルの二次生成性の研究である。これらの研究を進めるに当たり、平成２６年度は、具体的かつ理にかなった整凸多面体のクラスについての研究を行った。研究①について、まずは“膨らませた”整凸多面体のδ列についての研究を行った。任意の整凸多面体は十分膨らませれば正規になることがよく知られている。整凸多面体の次元をdとし、整凸多面体の次数と呼ばれる不変量をsとおくとき、任意のn≧max{d+1-s,s}に対して、n倍に膨らませた整凸多面体のδ列は常にunimodalになることを証明した。研究②について、まずは非特異Fano凸多面体についての研究を行った。具体的には非特異Fano凸多面体をより深く理解するために、非特異Fano凸多面体のF同値類と呼ばれるものに関する結果を得た。また整凸多面体のδ列の研究に関して、Benajmin Nill氏・土谷昭善氏との共同研究により、δ多項式が三項式になるような整凸多面体を完全に分類することにも成功した。さらに、整凸多面体のミンコフスキー和の正規性や“level”と呼ばれる性質に関しても一定の結果を得ている。これらは整凸多面体に付随する半群環であ“Ehrahrt環”の環論的性質とも関連し、今後の研究の手助けにもなり得る研究結果である。