ＬＭＯ関手の拡張を用いた境界付き曲面とコボルディズムの研究

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研究課題「ＬＭＯ関手の拡張を用いた境界付き曲面とコボルディズムの研究」における境界付き曲面とコボルディズムについて、そのホモロジー類似であるホモロジーコボルディズムを通して研究を行った。ホモロジーコボルディズムとは、ホモロジー的に「境界付き曲面と閉区間の直積」であるような、ある種の境界付き 3 次元多様体である。ホモロジーコボルディズムの境界を適切に貼り合わせることにより、閉 3 次元多様体が得られる。逆に任意の閉 3 次元多様体 X はそのようにして得られることが知られており、X の位相不変量 hc(X) を定義することができる。今年度の主な研究成果は、X に「円周と球面の直積 S^1xS^2」を連結和した際に hc がどのように変化するかを表す次の等式を証明したことである：hc(X#2S^1xS^2)=hc(X)+1。この等式と逆井氏の先行研究を合わせることで、hc(X) の計算は有理ホモロジー 3 球面 Y に対して hc(Y) 及び hc(Y#S^1xS^2) を計算することに帰着される。有理ホモロジー 3 球面の中で最も基本的なものはレンズ空間 L(p,q) であり、昨年度の研究において等式 hc(L(p,q))=1 を証明し、その系として hc(L(p,q)#S^1xS^2) の計算も完了している。これらと今年度の成果を合わせることで、1 次ホモロジー群のねじれ部分群が巡回群の場合に hc(X) を完全に決定することに成功した。hc(X) の計算に関して、ねじれを持つ場合を含む広いクラスに対する計算結果は知られておらず、大きな前進となった。また hc(X) と深く関係するホモロジーファイバー結び目についても研究し、有理ホモロジー 3 球面内のヌルホモロガスな結び目がホモロジーファイバー結び目であるための必要十分条件を Alexander 多項式を用いて与えた。