岩澤理論的手法によるイデアル類群の研究

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今年度は主に以下の研究を行った．1.昨年度に引き続き，有理数体上の楕円曲線の岩澤理論の可換同変化について研究した．昨年度は超特異良還元を持つ場合に主予想の定式化を検討したが，今年度はそれを通常良還元を持つ場合に拡張した．より具体的には，いずれの場合でも，Coleman写像を構成して調べることで，Selmer群が主予想に現れるべき代数側の対象として適当であることを示した．また，そのColeman写像によるBeilinson-Katoのゼータ元の像がp進L関数とみなせることを示した．これらにより主予想を定式化した．次に，いくつかの仮定のもとで，その主予想の半分(一方の可除性)を証明した．このために，近年発展しているEuler系の議論を本質的に用いた．ただしEuler系の一般論から得られる結果と本研究での主予想とは定式化が大きく異なるため，その二つを結びつける議論は非自明である．最後に，こうして証明した主予想の半分を応用することで，Mazur-Tateの予想のひとつを部分的に証明した．これはC.-H. Kim-Kuriharaによる仕事の一般化である．先行研究には現れなかった新たな困難を克服するために，Fittingイデアルに関する私の昨年度の研究成果を効果的に利用した．2.pが分解する虚二次体上の，二変数可換同変岩澤理論について研究した．昨年度の研究では，その設定において代数側の対象を構成したものの，主予想の定式化が未解決だった．今年度は，Johnson-Leung-Kingsによるある種の主予想との比較を行うことにより，私の設定での主予想を導いた．その過程で，Fittingイデアルに関する昨年度までの研究を，導来圏の言葉を用いた現代的な岩澤理論の枠組みで解釈することができた．