Value-distribution theory of zeta and multiple zeta functions

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今年度に主として研究が進んだのは、第一には保型形式に付随する対称積 L 関数の値分布に関して、レベルについての観点から、M 関数の理論構築への足掛かりを得たことである。とくに　symmetric square L 関数の場合には、Dirichlet L 関数の場合のかなり正確な類似というべき極限定理が成立することを自然な仮定のもとで証明できた。より一般の場合には、非常に特殊なテスト関数に対してしか証明することはできていないが、Granville-Soundararajan の手法を援用する新基軸を打ち出すことにより、新たな観点からの M 関数論への展望を与えたのではないか、と考える。近年、保型 L 関数に対する M 関数の理論は急展開を見せたが、本研究は（本研究プロジェクトの中では一段面ではあるが）当面の一区切りをつけた感があるかもしれない。次に Schur 多重ゼータ関数については、Giambelli 公式を適用することにより、Schur 多重ゼータ関数を Euler-Zagier タイプの多重ゼータ関数とそのスター類似を混合させたものにより表示する式や、ある種の一般化されたルート系のゼータ関数で表示する式を得た。これらは以前、anti-hook タイプの場合に得ていた定理の類似であり、skew タイプでもない場合に類似の式を得たことで、その意味がより明確になってくると考えられる。普遍性についても、離散的な場合の混合型の同時普遍性定理について、Hurwitz タイプだけであった、片方のゼータ関数のクラスがもっと一般化できるであろう、という可能性が判明し、研究の新しい方向性が見えてきている。