モノドロミー保存変形のタウ関数と無限次元代数の表現論

以前までに、super Virasoro 代数である Neveu-Schwartz-Ramond (NSR)代数のランクが同一である不確定 Verma 加群間の不確定特異点型頂点作用素の存在、一意性および、NSR 代数の不確定 Verma 加群と自由フェルミオン代数のフォック空間の直和が、２つの Virasoro 代数の不確定 Verma 加群の無限個の直和に分解することを示していた。これらの事実から、NSR 代数の不確定特異点型頂点作用素が２つの Virasoro 代数の不確定特異点型頂点作用素の無限和に分解されることが示唆されており、２０２２年度はこの事実の証明に挑戦し、任意のランクについて証明が完成した。この結果から、Virasoro 代数の不確定共形ブロックが双線形微分方程式をみたすことが導かれる。特に中心電荷が1となるとき、パンルヴェ方程式のタウ関数がみたす双線形微分方程式となることが期待されるので、我々の結果は不確定共形ブロックのフーリエ展開がパンルヴェ方程式のタウ関数となるという予想（第４，５パンルヴェ方程式の場合）の証明に向けて大きな一歩となる。得られた不確定共形ブロックがみたす双線形微分方程式から、逆に不確定共形ブロックが決定されることもランク１，２の場合に確かめた。すなわち、特定の場合ではあるが、微分方程式による（表現論を介さない）不確定共形ブロックの定義が得られたことになる。確定共形ブロックに対してもそのような双線形微分方程式が知られていたが、不確定共形ブロックに対する双線形微分方程式はそれとは種類が異なることがわかり興味深いと思われる。

以前までに、super Virasoro 代数である Neveu-Schwartz-Ramond (NSR)代数のランクが同一である不確定 Verma 加群間の不確定特異点型頂点作用素の存在、一意性および、NSR 代数の不確定 Verma 加群と自由フェルミオン代数のフォック空間の直和が、２つの Virasoro 代数の不確定 Verma 加群の無限個の直和に分解することを示していた。これらの事実から、NSR 代数の不確定特異点型頂点作用素が２つの Virasoro 代数の不確定特異点型頂点作用素の無限和に分解されることが示唆されており、２０２２年度はこの事実の証明に挑戦し、任意のランクについて証明が完成した。この結果から、Virasoro 代数の不確定共形ブロックが双線形微分方程式をみたすことが導かれる。特に中心電荷が1となるとき、パンルヴェ方程式のタウ関数がみたす双線形微分方程式となることが期待されるので、我々の結果は不確定共形ブロックのフーリエ展開がパンルヴェ方程式のタウ関数となるという予想（第４，５パンルヴェ方程式の場合）の証明に向けて大きな一歩となる。得られた不確定共形ブロックがみたす双線形微分方程式から、逆に不確定共形ブロックが決定されることもランク１，２の場合に確かめた。すなわち、特定の場合ではあるが、微分方程式による（表現論を介さない）不確定共形ブロックの定義が得られたことになる。確定共形ブロックに対してもそのような双線形微分方程式が知られていたが、不確定共形ブロックに対する双線形微分方程式はそれとは種類が異なることがわかり興味深いと思われる。