次数環のCastelnuovo-Mumford regularityの研究

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まず、非退化射影代数多様体のCastelnuovo-Mumford regularityの上限を記述する問題を考えました。Castelnuovo-Mumford regularityとは、その射影多様体の定義方程式の複雑さ、もっと正確には、定義イデアルのシジジ-の生成元の次数の最大値です。この上限をその射影多様体の他の基本的な不変量、つまり、次数、余次元、ここで新しく定義したMigliore数を用いて表す結果を得ました。さらに、ここで得た不等式の等号を満足する射影代数多様体の分数を考え、次数が十分大きい多様体については、その等号をみたすものは、rational scrolleと呼ばれるものに限られることも証明しました。次に、多項式イデアルの算術的次数および幾何学的次数について研究しました。算術的次数とは、イデアルのすべての孤立成分、埋込成分を込めての次数、幾何学的次数とは、孤立成分の次数です。この辺の話題はコンピュータ代数の見地からも重要です。多項式イデアルや多様体の代数的不変量について、それらの関係を調べることや、計算可能なアルゴリズムを考えるという視点でこれらの研究を進めていきました。これらの次数の超平面切断による振る舞い、即ち、ベズ-の定理についての結果を得ました。これに関連して、埋め込み成分についてのベルティニの定理を証明しました。この応用として、算術的次数とCastelnuovo-Mumford regularityとの関係を求めました。また、算術的次数および幾何学的次数の平坦族における上半連続性、下半連続性について調べました。