Syzygies of Projective Varieties and Splitting of Algebraic Vector Bundles

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射影空間における斉次多項式の零点で定義される代数多様体について、主に可換環論的な手法で研究をしています。定義イデアルの極小自由分解・シジジーが研究対象の中心であり、カステルヌボー・マンフォード正則量という重要な不変量を調べています。昨年度に引き続き、正則量の上限をk-ブックスバウム性で制御するという Le Tuan Hoa に提唱された予想を目指して、重複度の理論やLechの仕事を見直しつつ、標準k-ブックスバウムの理論構築の研究を進めているところです。また、正則量の関連する話題を総合的に考え、正則量の漸近的性質と一般射影のファイバーについての幾何学的性質との関係、McCullough-Peeva によるアイゼンバッド・後藤予想の反例の精査を研究しました。ベクトル束の分裂については、ホロックスのオリジナルな結果の拡張、見通しの良い証明を含めた形でのブックスバウム束への応用を考え、擬ブックスバウム束の分類について、３次元射影空間上のNull-Corellation束については環論的な判定法についての論文を準備中です。一方、カステルヌボー・マンフォード正則量の理論を重み付き射影空間への拡張も取り組んでいます。一次元のGruson-lazarsfeld-Peskine の定理については、偏極多様体に一般化した場合、直線束が大域生成と仮定すると、古典的結果の多くに対して、従来の理論のアナロジーが通用します。このことを踏まえて、重み付き射影空間での結果を目指して研究中です。