セミマルチンゲ-ルの漸近展開と統計学への応用

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拡散過程の未知パラメータの推定問題に現れる統計量の分布の漸近展開について研究した。とくにM-推定量の分布に関して調べた。まず、M-推定量の存在と確率展開の計算をし、マリアヴァン解析によるマルチンゲ-ルの漸近展開の結果を利用して、エルゴード的拡散過程の最尤推定量の分布の漸近展開を導いた。さらに、シミュレーションによって展開の有効性を確認した。拡散係数の未知パラメータの推定問題はファイナンスとも関連した問題である。有限区間、離散サンプルの場合、M-推定量の利用が推奨されているが、1次の漸近分布が正規分布になる、パラメータが線形の場合(拡散過程自体は一般に非線形でもよい)に、M-推定量の確率展開と、マリアヴァン解析によるマルチンゲ-ルの漸近展開の結果をあわせると、M-推定量の分布の漸近展開が得られる。このヴァリディティ(正当性)の証明の見直しをし、セミマルチンゲ-ルの混合ガウス過程への安定的収束との関連を研究した。また、シミュレーションによって、この近似が正規近似に比べ格段に良いことを確認した。幾何的強混合条件の下での確率過程の加法的汎関数の分布の漸近展開について研究した。この場合もマリアヴァン解析が条件付きクラメル条件の検証に有用であることがわかった。