定量的超局所解析の方法論の確立

この研究は，偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において，超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し，偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである．そのためには，偏微分方程式解のもつ構造のうちどの部分がその定量的性質に影響を与えているかを探ることがまずは重要と考えられるが，今年度は特に波動方程式に焦点をあて，その非線形問題の解を具体的に構成し今後の研究の方向性の指針とすることを試みた．これまでに冪型の非線形項をもつ波動方程式の初期値問題に対して，冪の指数がある範囲にとどまっていれば自己相似解が存在することが先行研究により示されていた．しかしながら，これらはあくまでも「存在証明」であり，自己相似解がどのような形をしているのかに関する知見までは得られていなかった．このような状況のもと今年度の研究成果により，超幾何函数を用いて具体的に自己相似解を構成するという新しい手段を得ることができた．さらに，この手法がスケール不変型の消散型波動方程式に対しても適用可能であることを見出し，これにより，時間大域解が存在するための臨界冪指数のシフト現象に対する新しい解釈を与えることが可能になった．　また．これと並行して，多様体上などの一般的な状況における波動方程式の初期値問題の基本解に対する評価に関して，様々な知見が進むシュレデインガー方程式に対する評価式から導出する方法論の構築も試みた．

この研究は，偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において，超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し，偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである．そのためには，偏微分方程式解のもつ構造のうちどの部分がその定量的性質に影響を与えているかを探ることがまずは重要と考えられるが，今年度は特に波動方程式に焦点をあて，その非線形問題の解を具体的に構成し今後の研究の方向性の指針とすることを試みた．これまでに冪型の非線形項をもつ波動方程式の初期値問題に対して，冪の指数がある範囲にとどまっていれば自己相似解が存在することが先行研究により示されていた．しかしながら，これらはあくまでも「存在証明」であり，自己相似解がどのような形をしているのかに関する知見までは得られていなかった．このような状況のもと今年度の研究成果により，超幾何函数を用いて具体的に自己相似解を構成するという新しい手段を得ることができた．さらに，この手法がスケール不変型の消散型波動方程式に対しても適用可能であることを見出し，これにより，時間大域解が存在するための臨界冪指数のシフト現象に対する新しい解釈を与えることが可能になった．　また．これと並行して，多様体上などの一般的な状況における波動方程式の初期値問題の基本解に対する評価に関して，様々な知見が進むシュレデインガー方程式に対する評価式から導出する方法論の構築も試みた．