定量的超局所解析の方法論の確立

定量超局部分析方法论的建立

• 批准号: 22K18673
• 负责人: 杉本 充
• 金额: $ 4.08万
• 依托单位: Nagoya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-06-30 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K18673/
• 关键词: 超局所解析; 波動方程式; 自己相似解; Stricharz 評価式; 平滑化評価式; 分散型方程式; 双曲型方程式

この研究は，偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において，超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し，偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである．そのためには，偏微分方程式解のもつ構造のうちどの部分がその定量的性質に影響を与えているかを探ることがまずは重要と考えられるが，今年度は特に波動方程式に焦点をあて，その非線形問題の解を具体的に構成し今後の研究の方向性の指針とすることを試みた．これまでに冪型の非線形項をもつ波動方程式の初期値問題に対して，冪の指数がある範囲にとどまっていれば自己相似解が存在することが先行研究により示されていた．しかしながら，これらはあくまでも「存在証明」であり，自己相似解がどのような形をしているのかに関する知見までは得られていなかった．このような状況のもと今年度の研究成果により，超幾何函数を用いて具体的に自己相似解を構成するという新しい手段を得ることができた．さらに，この手法がスケール不変型の消散型波動方程式に対しても適用可能であることを見出し，これにより，時間大域解が存在するための臨界冪指数のシフト現象に対する新しい解釈を与えることが可能になった．　また．これと並行して，多様体上などの一般的な状況における波動方程式の初期値問題の基本解に対する評価に関して，様々な知見が進むシュレデインガー方程式に対する評価式から導出する方法論の構築も試みた．

This research is aimed at the solution of partial differential equations, the analysis of quantitative properties, the construction of methodologies for solving hyperfunctions, and the pursuit of new possibilities in the study of partial differential equations theory. The solution of partial differential equation is composed of two parts: the structure of partial differential equation and the quantitative property of partial differential equation. This is the first study of the existence of a similar solution to the power of a non-linear term in the ratio equation. The answer to this question is "proof of existence." This year's research results show that hypergeometric functions are constructed by specific methods. For example, the equation of dissipation type is applicable to all kinds of problems.また. In parallel, this is important for the evaluation of the basic solution of the initial value problem of the ratio equation under general conditions on multiple bodies, and it is known that the methodology for constructing and deriving the evaluation formula for the ratio equation can be improved.

项目成果

The 14th Nagoya Workshop on Differential Equations

第14届名古屋微分方程研讨会

• 发表时间: 2023

北京大学(中国)

北京大学（中国）

MATRIX-RIMS Tandem Workshop「Geometric Analysis in Harmonic Analysis and PDE」

MATRIX-RIMS Tandem 研讨会“谐波分析和偏微分方程中的几何分析”

• 发表时间: 2023

A constructive approach to nonlinear wave equations

非线性波动方程的建设性方法

• 发表时间: 2022
• 作者: 杉本充